Question

Помогите пожалуйста Сумма углов, опирающихся на основание AD трапеции ABCD, равна 90°.Точки E, M, F, N — середины отрезков AC, BC, BD, AD соответственно, O — точка пересечения диагоналей AC и BD. Верны ли следующие утверждения? 1) прямые AB и CD взаимно перпендикулярны. 2) окружность проходит через точки M, O и N. 3) периметр четырехугольника EFMN равен сумме длины сторон AB и CD трапеции.4) Угол MEN>90°: 5)отрезок MN равен полуразности отрезков AD и BC.6)Площадь треугольника AEN больше чем четверть площади треугольника ABD.​

Answer 1

Ответ:

1. Да, прямые AB и CD взаимно перпендикулярны, так как угол между ними равен 90 градусов, а углы A и B трапеции равны.

2. Нет, окружность не проходит через точки M, O и N, так как эти точки лежат на прямых AC и BD, которые не являются концентрическими окружностями.

3. Да, периметр четырехугольника EFMN равен сумме длин сторон AB и CD, так как E, F и M лежат на отрезках AC, BD и BC соответственно, а O лежит на пересечении диагоналей AC и BD трапеции ABCD.

4. Нет, угол MEN не может быть больше 90 градусов, так как он является углом треугольника EON, который меньше 180 градусов.

5. Нет, отрезок MN не равен половине разности отрезков AD и BC, так как точки E, F и N не лежат на этих отрезках.

6. Нет, площадь треугольника AEN не больше четверти площади треугольника ABD, так как треугольник AEN имеет большую площадь из-за большего угла E.

Answer 2

1) Утверждение 1: прямые ab и cd взаимно перпендикулярны. Для проверки данного утверждения нам необходимо проанализировать сумму углов, опирающихся на основание ad. Если эта сумма равна 90°, то прямые ab и cd должны быть взаимно перпендикулярными.

По условию, сумма углов, опирающихся на основание ad, равна 90°. Это значит, что угол edn + угол den + угол edo + угол ode = 90°.

Также известно, что угол edn = угол den (так как это углы при основании ad) и угол edo = угол ode (так как это вертикальные углы).

Подставляя эти равенства в уравнение, получим: 2 * угол edn + 2 * угол edo = 90°. Упрощая это уравнение, получаем: 2 * (угол edn + угол edo) = 90°.

Таким образом, сумма углов, опирающихся на основание ad, равна 90°, что подтверждает утверждение 1.

2) Утверждение 2: окружность проходит через точки m, o и n. Для проверки данного утверждения нам необходимо проанализировать свойства четырехугольника, образованного точками m, o, n и e. Если эти точки лежат на окружности, то утверждение 2 будет верно.

Чтобы доказать, что точки m, o, n и e лежат на окружности, мы можем воспользоваться следующим свойством: серединный перпендикуляр отрезка, соединяющего две точки, проходит через центр окружности, на которой лежит этот отрезок.

1) Найдем серединный перпендикуляр к отрезку mo. Он проходит через точку o и середину отрезка mo, то есть точку n. Поскольку медиана, опущенная из вершины прямоугольника на его основание, является серединным перпендикуляром к основанию, то мы можем сделать вывод, что точки m, o и n лежат на окружности с центром в точке o.

2) Аналогично можно показать, что точки m, o и e лежат на окружности с центром в точке m.

3) Последнее свойство необходимо проверить отдельно. Для этого проведем серединный перпендикуляр к отрезку en. Он проходит через точку e и середину отрезка en, то есть точку o. Поскольку серединный перпендикуляр к стороне треугольника является высотой этого треугольника, мы можем сделать вывод, что точки e, n и o лежат на окружности с центром в точке o.

Таким образом, все точки m, o, n и e лежат на окружностях, что подтверждает утверждение 2.

3) Утверждение 3: периметр четырехугольника efmn равен сумме длин сторон ab и cd трапеции. Для проверки данного утверждения нам необходимо вычислить периметр четырехугольника efmn и сравнить его с суммой длин сторон ab и cd трапеции.

Четырехугольник efmn - это четырехугольник, образованный точками e, m, f и n. Изобразим его:

f...........n / \ / \ e.........................m

Видно, что сторона ef дополнительной трапеции является боковой стороной четырехугольника efmn, поэтому для вычисления периметра необходимо знать длину стороны ef.

4) Утверждение 4: угол men > 90°. Для проверки данного утверждения необходимо изучить свойства треугольника men. Если его один из углов больше 90°, то утверждение 4 будет верно.

5) Утверждение 5: отрезок mn равен полуразности отрезков ad и bc. Для проверки данного утверждения необходимо найти полуразность отрезков ad и bc и сравнить ее с длиной отрезка mn.

6) Утверждение 6: площадь треугольника aen больше чем четверть площади треугольника abd. Для проверки данного утверждения необходимо вычислить площади треугольников aen и abd и сравнить их.