Question

Периметр параллелограмма АВСD равен 60√3, а длины его сторон относятся как 2:3. Из вершины тупого угла В опущена высота на меньшую сторону; точка К – основание высоты. Найдите площадь четырехугольника АВКD, если тупой угол параллелограмма равен 120°.

Answer 1

Обозначим эти пропорции как 2х и 3х. Зная периметр параллелограмма составим уравнение:

2(2х+3х)=60√3

2×5х=60√3

10х=69√3

х=60√3/10

х=6√3

Тогда АВ=СД=2×6√3=12√3

ВС=АД=3×6√3=18√3

Высота ВК делит параллелограмм, образуя прямоугольный треугольник ВСК. В нём ВК и СК - катеты, а ВС - гипотенуза. Так как сумма односторонних углов параллелограмма составляет 180°, то угол С=180-120=60°

Сумма острых углов прямоугольного треугольника составляет 90°, поэтому угол СВК=90-69=30°. Катет лежащий напротив него равен половине гипотенузы, поэтому

СК=½×ВС=18√3/2=9√3

Найдём ВК по теореме Пифагора:

ВК²=ВС²-СК²=(18√3)²-(9√3)²=324×3-81×3=

=972-243=729; ВК=√729=27

ВК=27

Найдём S∆ВСК по формуле: S=½×BK×CK=

=½×9√3×27=121,5√3

Теперь найдём площадь параллелограмма по формуле:

S=СД×ВК=12√3×27=324√3

Теперь найдём площадь четырёхугольника АВКД:

Sавкд=Sпарал–Sвск=

=324√3-121,5√3=202,5√3

ОТВЕТ: Sавкд=202,5√3

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Найдем длины сторон параллелограмма.

Для начала, давайте обозначим длины сторон параллелограмма АВСD следующим образом: AB = 2x, BC = 3x, CD = 2x и DA = 3x, где x - это некоторая положительная константа.

Из условия задачи известно, что периметр параллелограмма равен 60√3. Поэтому мы можем записать уравнение:

2x + 3x + 2x + 3x = 60√3

Упростим это уравнение:

10x = 60√3

x = 6√3

Теперь мы знаем длины всех сторон параллелограмма:

AB = 2x = 2 * 6√3 = 12√3 BC = 3x = 3 * 6√3 = 18√3 CD = 2x = 2 * 6√3 = 12√3 DA = 3x = 3 * 6√3 = 18√3

2. Найдем высоту параллелограмма.

Мы знаем, что угол В параллелограмма равен 120°. Высота, опущенная из вершины тупого угла В на меньшую сторону AB, разделит параллелограмм на два равных треугольника.

Так как у нас есть два равных треугольника, высота будет равна одной из сторон треугольника ABK, а именно AB = 12√3.

3. Найдем площадь четырехугольника ABKD.

Площадь четырехугольника ABKD можно найти как сумму площадей двух треугольников ABK и DCK, так как они образуют четырехугольник.

Площадь треугольника ABK: S_ABK = (1/2) * AB * h S_ABK = (1/2) * 12√3 * 12√3 S_ABK = 72 * 3 S_ABK = 216

Площадь треугольника DCK: S_DCK = (1/2) * DC * h S_DCK = (1/2) * 12√3 * 18√3 S_DCK = 6 * 18 * 3 S_DCK = 324

Теперь мы можем найти площадь четырехугольника ABKD, сложив площади треугольников ABK и DCK:

S_ABKD = S_ABK + S_DCK S_ABKD = 216 + 324 S_ABKD = 540

Ответ: Площадь четырехугольника ABKD равна 540 квадратным единицам.