Question

Найдите катеты прямоугольного треугольника, если радиус его описанной окружности равен 6,5 , а радиус вписанной окружности равен 2 .

Answer 1

В прямоугольном треугольнике радиус его описанной окружности равен половине гипотенузы. При этом  $a+b-c=2r$, где r - радиус вписанной окружности. Значит   $2(R+r)=a+b=17;$
С другой стороны,  $a^{2}+b^{2}=169$;
Возводя первое уравнение в квадрат и находя его разность со вторым, получаем:  $2ab=120 \Leftrightarrow ab=60$,  $a+b=17$;
Решая данную систему, получаем значения катетов 5 и 12. 

Answer 2

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, r - радиус вписанной окружности, R - радиус описанной окружности.

Известно, что радиус вписанной окружности r равен половине суммы катетов: r = (a + b) / 2

А радиус описанной окружности R равен половине гипотенузы: R = (a^2 + b^2) / (2 * a + 2 * b)

Также известно, что радиус вписанной окружности r и радиус описанной окружности R связаны следующим образом: R = 2 * r

Подставим значение радиуса вписанной окружности r = 2 в последнее уравнение: R = 2 * 2 = 4

Теперь можем найти катеты прямоугольного треугольника, подставив значение радиуса описанной окружности R = 4 во второе уравнение: 4 = (a^2 + b^2) / (2 * a + 2 * b)

Умножим обе части уравнения на 2 * a + 2 * b: 4 * (2 * a + 2 * b) = a^2 + b^2

Раскроем скобки: 8a + 8b = a^2 + b^2

Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения: a^2 - 8a + b^2 - 8b = 0

Это уравнение представляет собой окружность с центром в точке (4, 4) и радиусом 4.

Решить это уравнение можно, например, методом подстановки или методом графического решения.