Question

Гіпотенуза і катет прямокутного трикутника відносяться 5:3, а другий катет дорівнює 16 см. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника та площу трикутника.

Answer 1

Дано: Δabc — прямокутний, де a, b — катети, c — гіпотенуза. c:a = 5:3, b = 16 cm.

Знайти: радіус описаного кола r, площу трикутника $S_{abc}$.

Рішення:

Нехай невідомий катет b = 3x cm, гіпотенуза c = 5x cm, а відомий катет a = 16 cm. Складемо математичну модель відповідно до т. Піфагора і вирішимо її:

    $a^2+b^2=c^2\:\: \Leftrightarrow \:\: (3x)^2+16^2=(5x)^2\\9x^2+16^2=25x^2\\16x^2=16^2\\x^2=\frac{\:\:16^2}{16} =16\\x=\pm \sqrt{16}= \pm 4$

Від'ємний корів відкидаємо, т.я. довжина не може бути від'ємною.

Тоді:

• невідомий катет b = 3x = 3·4 = 12 cm
• гіпотенуза c = 5x = 5·4 = 20 cm

Підставимо значення у формулу площі прямокутного трикутника:

    $S = \frac{a\cdot b}{2} = \frac{12\cdot 16}{2} = 12\cdot 8 = 96 \:\: (cm^2)$

Гіпотенуза прямого трикутника рівна діаметру описаного кола:

    c = d = 20 cm

Радіус кола рівний половині діаметра:

    r = d/2 = 20/2 = 10 cm

Відповідь: r = 10 cm, S = 96 cm².

Answer 2

Давайте спочатку розв'яжемо прямокутний трикутник, в якому гіпотенуза та один з катетів відомі. За умовою задачі, ми знаємо, що відношення гіпотенузи до одного з катетів становить 5:3. Нехай один з катетів буде 3x см, тоді гіпотенуза буде 5x см. Також нам відомо, що другий катет дорівнює 16 см. За теоремою Піфагора для прямокутних трикутників: \[ \text{гіпотенуза}^2 = \text{катет}_1^2 + \text{катет}_2^2 \] У нашому випадку: \[ (5x)^2 = (3x)^2 + 16^2 \] Розгортаємо дужки та розв'яжемо рівняння: \[ 25x^2 = 9x^2 + 256 \] \[ 16x^2 = 256 \] \[ x^2 = 16 \] \[ x = 4 \] Отже, перший катет дорівнює \( 3x = 3 \times 4 = 12 \) см, гіпотенуза дорівнює \( 5x = 5 \times 4 = 20 \) см. Тепер ми можемо знайти радіус кола, описаного навколо цього трикутника. Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, рівний половині гіпотенузи. Таким чином, радіус кола \( r \) дорівнює \( \frac{20}{2} = 10 \) см. Щоб знайти площу трикутника, можемо використати формулу для площі прямокутного трикутника: \[ \text{Площа} = \frac{1}{2} \times \text{катет}_1 \times \text{катет}_2 \] \[ \text{Площа} = \frac{1}{2} \times 12 \times 16 \] \[ \text{Площа} = 96 \, \text{см}^2 \] Отже, радіус кола, описаного навколо трикутника, дорівнює 10 см, а площа трикутника становить 96 квадратних сантиметрів.