Question

Возьмите 40 баллов...... 1) В параллелограмме ABCD диагональ АС со сторонами AB и ВС образует углы, равные соответственно 45° и 25". Чему равнавеличина угла BCD?2) Биссектриса угла В параллелограмма ABCD делит сторону AD на два отрезка АК и KD так, что AK-KD=1. Найдите стороныпараллелограмма, если его периметр равен 40 см.​

Answer 1

1) Противоположные стороны параллелограмма параллельны.

AB||CD

Накрест лежащие углы при параллельных равны.

∠BAC=∠DCA =45°

∠BCD= ∠BCA+∠DCA =25°+45° =70°

2) BC||AD (противоположные стороны параллелограмма)

∠CBK=∠AKB (накрест лежащие углы при параллельных)

∠ABK=∠CBK (BK - биссектриса)

∠ABK=∠AKB

△BAK - равнобедренный (т.к. углы при основании равны)

AB=AK

KD=AK-1

AD=AK+KD =2AK-1 =2AB-1

P(ABCD)=2(AB+AD) =2(3AB-1)

2(3AB-1)=40 <=> AB=21/3=7 (см)

AD=7*2-1 =13 (см)

Answer 2

1) Поскольку диагонали параллелограмма делятся пополам, то у нас есть следующие соотношения: AC = BD (так как AC и BD - диагонали параллелограмма) BC = AD (так как BC и AD - стороны параллелограмма) AB = CD (так как AB и CD - стороны параллелограмма) Из условия задачи углы ACB и BCD равны 45° и 25° соответственно. Так как сумма углов параллелограмма равна 360°, а ABCD - параллелограмм, то углы ABC и BCD - смежные углы и их сумма равна 180°. Тогда угол ABC = 180° - угол BCD = 180° - 25° = 155°. Таким образом, угол BCD равен 155°. 2) По определению биссектрисы, отношение AK к KD равно отношению сторон, на которые биссектриса делит угол. Из условия задачи AK - KD = 1. Пусть AK = x и KD = y. Тогда x - y = 1. Так как AK и KD - отрезки, на которые биссектриса делит сторону ad, то AB = AK + KB и CD = KD + DC. Периметр параллелограмма равен сумме всех его сторон, то есть P = AB + BC + CD + DA. Заменим значения AB и CD с учетом равенств BC = AD и AB = CD: P = (AK + KB) + BC + (KD + DC) + DA = AK + BC + DC + DA + KB + KD Для решения задачи нам также понадобится соотношение между сторонами и диагоналями параллелограмма. Полу-периметр (s) равен 1/2 суммы диагоналей, то есть s = (AC + BD)/2. В нашем случае AC = BD, поэтому s = 2AC/2 = AC. С периметром связана формула: P = 2s. Подставим это в уравнение для периметра параллелограмма: P = AK + BC + DC + DA + KB + KD 2s = AK + BC + DC + DA + KB + KD Также у нас есть x - y = 1. Теперь, из информации об угле ABC следует, что высота по отношению к основанию AB равна AD*sin(ABC). С другой стороны, высота по отношению к основанию AB равна h = AK*sin(ABC), так как AK и KD - отрезки, на которые биссектриса делит сторону ad. Тогда AK*sin(ABC) = AD*sin(ABC), откуда AK = AD. Заменим AK на AD в соотношении x - y = 1: (AD + KD) - KD = 1 AD = 1 Теперь подставим значения AK и AD в выражение для периметра: 2s = AD + BC + DC + DA + KB + KD 2s = 1 + BC + DC + 1 + KB + KD Используем теперь равенства BC = AD и CD = AB: 2s = 1 + AD + DC + 1 + AB + KD У нас есть равенство AB = CD, поэтому: 2s = 2 + 2AD + 2DC Так как s = AC, а AC = AD + DC: 2AC = 2 + 2AC 2AC - 2AC = 2 0 = 2 Это невозможно, поэтому решение задачи невозможно найти при данных условиях.