Question

В треугольнике ABC угол C - прямой, CD — высота. Биссектрисы углов ABC и ACD пересекаются в точке M, а биссектрисы углов BAC и BCD — в точке N. Найдите длины отрезка MN, если AC=6, BC=8.

Answer 1

Ответ:

2

Объяснение: Решение : /////////////////

Answer 2

∠АСR = ∠ACD + ∠RCD = ∠ABC + ∠BCR = ∠ARC ⇒ ΔACR - равнобедренный, AN⊥CR, CN = NR, АС = AR = 6

∠ВСК = ∠BCD + ∠KCD = ∠BAC + ACK = ∠BKC ⇒ ΔBCK - равнобедренный, BM⊥CK, CM = MK, BC = BK = 8

CM = MK , CN = NR ⇒ MN - средняя линия ΔKCR

В ΔАВС: АВ² = АС² + BC² = 6² + 8² = 100 ⇒ AB = 10

BR = AB - AR = 10 - 6 = 4 ,  KR = BK - BR = 8 - 4 = 4  ⇒  MN = KR/2 = 4/2 = 2

===========================================================

Пусть АС = a, BC = b, AB = c, тогда АС = AR = a, BC = BK = b

BR = AB - AR = c - a,  KR = BK - BR = b - (c - a) = a + b - c  ⇒ MN = (a + b - c)/2

Следует, что MN не просто отрезок, лежащий на средней линии ΔАВС, и что удивительно! но и равен радиусу вписанной окружности в ΔАВС

MN = r = (a + b - c)/2 = (6 + 8 - 10)/2 = 2

Ответ: 2

Answer 3

Для решения этой задачи воспользуемся свойством биссектрисы угла. Первым шагом найдем длины отрезков, которые делят стороны треугольника на отрезки пропорциональные их длинам. Обозначим длину отрезка am как x, а длину отрезка cm как y. Так как cd - высота треугольника abc, то am и cm являются проекциями сторон ab и ac на высоту cd. Используя подобные треугольники, можем записать следующие пропорции: x/(8-x) = y/6 (1) y/(6-y) = (8-x)/8 (2) Решим эти уравнения. Умножим уравнение (1) на 8-x 8x = xy/6 - xy/6 + x^2 => x^2 - xy/6 + 8x - 8= 0 => x^2 + (48-6y)x - 48 = 0 Аналогично уравнению (2): y^2 + (30-4x)y - 30 = 0 Решим эти уравнения и найдем значения x и y. x ≈ 2.632 (до трех знаков после запятой) y ≈ 2.235 Теперь, используя теорему Пифагора, найдем длину отрезка mn: mn^2 = (x+y)^2+8^2 mn^2 = (2.632+2.235)^2+8^2 mn^2 ≈ 39.369 + 64 mn^2 ≈ 103.369 mn ≈ sqrt(103.369) ≈ 10.17 Итак, длина отрезка mn составляет примерно 10.17 единиц.