Question

15 баллов .Центр кола, вписаного у прямокутну трапецію, віддалений від кінців її більшої бічної сторони на 15 см і 20 см. Знайдіть площу трапеції.

Answer 1

Пусть имеем прямоугольную трапецию АВСД и вписанную окружность с центром в точке О и радиусом r.

Центр вписанной окружности находится на пересечении биссектрис острого и тупого углов трапеции.

Треугольник СОД - прямоугольный (по свойству трапеции).

Сторона СД = √(15² + 20²) = 25 см.

Высота h треугольника СОД равна радиусу r.

r = h = 15*20/25 = 12 см (по свойству площади).

Сумма оснований равна сумме боковых сторон.

Средняя линия равна: Lср = (2*12 + 25)/2 = (49/2) см.

Площадь трапеции равна: S = hLср = 24*(49/2) = 588 см².

Answer 2

Давайте спочатку розглянемо основні властивості трапеції, щоб знайти її площу. Трапеція - це чотирикутник, у якого дві протилежні сторони паралельні. Щоб знайти площу трапеції, використовується формула: \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h\], де \(a\) і \(b\) - довжини основ трапеції, а \(h\) - висота, тобто відстань між основами. У нашому випадку, основи трапеції будуть менша (відстань між кінцями більшої бічної сторони) та більша бічна сторона. За вашими даними, відстань від центру кола до кінців більшої бічної сторони становить 15 см і 20 см. Оскільки центр кола розташований рівномірно віддалено від кінців більшої сторони, то можемо сказати, що це висота трапеції. Отже, \(h = 15 + 20 = 35\) см. Залишилося знайти довжини основ трапеції. Оскільки центр кола вписаного у трапецію, то від центру кола до кожної з основ трапеції відстань однакова і дорівнює радіусу кола. За відомостями у завданні, радіус кола дорівнює 15 см. Отже, \(a = b = 15\) см. Тепер підставимо ці значення в формулу для площі трапеції: \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{15 + 15}{2} \cdot 35 = 15 \cdot 35 = 525\] квадратних сантиметрів. Отже, площа трапеції становить 525 квадратних сантиметрів.