Question

Прямокутник у якому одна сторона утричі довша за іншу, розрізали на одинакові квадратики. Виявилось, що сума їх периметрів у 6 ращів більша за периметр початкового прямокутника. На скільки квадратиків могли розрізати цей прямокутник

Answer 1

Примем число квадратиков по короткой стороне за  n, а по длинной - 3n.

Длину стороны квадратика примем за х.

Периметр прямоугольника  Ро = 2nx + 3(2nx) = 8nx.

Число квадратиков N = n*3n = 3n². Их периметр Рк = 3n²*4x = 12n²x.

По условию Рк = 6Ро, то есть 12n²x = 6*8nx или n = 4.

Ответ: N = 3*4² = 48.

Answer 2

Нехай сторона прямокутника, яка утричі довша за іншу, буде позначена як х, а друга сторона - як у. Початковий прямокутник має периметр 2*(х+у). Після розрізання на квадратики, кількість яких ми позначимо як n, відбудуться зміни: Ширина прямокутника зменшиться на n*уквадратиків (так як кожен квадратик занимає одну одиницю ширини) Довжина прямокутника збільшиться на n*х/у квадратиків (так як кожен квадратик занимає x/у одиниць довжини) Отже, новий прямокутник матиме сторони (х-n*у) і (у+n*х/у). Його периметр буде рівний 2*((х-n*у)+(у+n*х/у)). Задача стверджує, що сума периметрів квадратиків дорівнює 6 разам периметру початкового прямокутника: 6*(2*(х+у)) = 2*((х-n*у)+(у+n*х/у)) Спростивши рівняння, ми отримаємо: 6*(х+у) = (х-n*у)+(у+n*х/у) Розкриваємо дужки: 6*х+6*у = х-n*у+у+n*х/у Складаємо подібні доданки: 6*х+6*у = х+n*х/у-n*у+у Скорочуємо на х і у: 6+6 = 1+n - n + 1 12 = 2 Отже, вихідне рівняння є неможливим, оскільки дорівнює неправді. Це означає, що прямокутник не можна розрізати на квадратики так, щоб сума їх периметрів була у 6 разів більшою за периметр початкового прямокутника.