Question

В прямоугольнике диагональ равна 20, а угол между ней и одной из сторон равен 30°. Найдите площадь прямоугольника, делённую на (квадратный корень из трех).

Answer 1

Чертёж смотрите во вложении.

Дано:

Четырёхугольник ABCD - прямоугольник.

DB - диагональ = 20.

∠DBC = 30°.

Найти:

$\frac{S(ABCD)}{\sqrt{3} } = ?$

Решение:

Проведём ещё одну диагональ АС. Точку пересечения АС и DB назовём О.

Прямоугольник - это тоже параллелограмм. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. А так как ещё по свойству прямоугольника равны, то ВО = OD = AO = OC. Следовательно, ΔВОС - равнобедренный.

Рассмотрим ΔВОС - равнобедренный (ВО и ОС - боковые стороны). ∠ОВС = ∠ОСВ = 30°, так как прилегают к основанию. Рассмотрим ∠ODC - внешний для ΔВОС - равнобедренный. Следовательно, равен сумме углов не смежных с ним. То есть, ∠ODC = ∠ОВС +∠ОСВ = 30°+30° = 60°.

Площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей и синуса угла между ними.

S (ABCD) = 0,5*AC*DB*sin (∠ODC)

sin (60°) = (√3)/2.

AC = DB = 20.

То есть -

$S (ABCD) = 0,5*20*20*\frac{\sqrt{3} }{2} \\\\S (ABCD)=100\sqrt{3}$

$\frac{S(ABCD)}{\sqrt{3} } = \frac{100\sqrt{3} }{\sqrt{3} } =100$

Ответ: 100 (ед²).

Answer 2

Пусть стороны прямоугольника равны a и b. Так как диагональ равна 20 и угол между диагональю и одной из сторон равен 30°, то можем использовать тригонометрические соотношения: sin(30°) = a/20, cos(30°) = b/20. Раскроем sin(30°) = a/20: 1/2 = a/20, a = 20/2, a = 10. Раскроем cos(30°) = b/20: √3/2 = b/20, b = (√3/2) * 20, b = 20√3/2, b = 10√3. Теперь найдём площадь прямоугольника: Площадь = a * b, Площадь = 10 * 10√3, Площадь = 100√3. Для получения площади, делённой на квадратный корень из трех: Площадь / √3 = (100√3) / √3, Площадь / √3 = 100. Таким образом, площадь прямоугольника, делённая на квадратный корень из трех, равна 100.