Question

Найдите площадь ромба, сторона которого равна 25 см, а сумма диагоналей – 62 см.

Answer 1

Ответ: S=336см²

Объяснение: обозначим вершины ромба А В С Д, а диагонали АС и ВД, точку их пересечения О. Диагонали пересекаясь делят ромб на 2 равных прямоугольных треугольника в которых его диагонали являются катетами а стороны - гипотенузой. Пусть диагональ ВД=х, а вторая АС=у. Если их сумма составляет 62см, то х+у=62

Если рассмотреть =АВО, тодиагонали при пересечении делятся пополам поэтому

ВО=ДО=х/2, АО=СО=у/2. Составим уравнение используя теорему Пифагора:

(х/2)²+(у/2)²=25². У нас получилась система уравнений:

х+у=62

(х/2)²+(у/2)²=25²

х=62-у

Подставим значение х во второе уравнение: (х/2)²+(у/2)²=25

((62-у)/2)²+у²/4=625

(62-у²)/4+у²/4=625

(3844-124у+у²+у²)/4=625

(2у²-124у+3844)/4=625

2у²-124у+3844=4×625

2у²+124у+3844=2500

2у²+124у+3844-2500=0

2у²+124у+1344=0 |÷2

у²-62у+672=0

Д=3844-4×672=3844-2688=1156

у1=(62-34)/2=28/2=14

у2=(62+34)/2=96/2=48

Итак: у1=14; у2=48

Теперь подставим значение у в первое уравнение: х1=62-у=62-14=48

х2=62-48=14

Нам подходят оба значения х и у. Диагональ ВД=48см; АС=14см

Площадь ромба можно вычислить по формуле S=½×AC×BД=½×14×48=336см²

Answer 2

Дано, что сторона ромба равна 25 см, а сумма диагоналей равна 62 см. Ромб - это параллелограмм, у которого все стороны равны. Также известно, что диагонали ромба перпендикулярны и половина одной диагонали является основанием прямоугольного треугольника. Пусть сторона ромба равна a, тогда: Диагонали ромба равны: d1 и d2. По условию задачи: a = 25 см d1 + d2 = 62 см Также из свойств ромба, известно: d1 = d2 Теперь найдем длину диагонали d1. По теореме Пифагора, для прямоугольного треугольника с катетами a/2 (половина основания) и a (сторона ромба), и гипотенузой d1: (d1/2)^2 + (a/2)^2 = a^2 (d1^2)/4 + (a^2)/4 = a^2 d1^2 + a^2 = 4a^2 4a^2 - a^2 = d1^2 3a^2 = d1^2 d1 = sqrt(3a^2) Так как d1 = d2, то d2 = sqrt(3a^2). Теперь найдем площадь ромба: Площадь ромба равна половине произведения диагоналей: S = (d1 * d2) / 2 S = (sqrt(3a^2) * sqrt(3a^2)) / 2 S = (3a^2) / 2 Подставляя значение a = 25 см, получаем: S = (3 * (25^2)) / 2 S = (3 * 625) / 2 S = 1875 / 2 S = 937.5 см^2 Таким образом, площадь ромба, сторона которого равна 25 см, а сумма диагоналей составляет 62 см, равна 937.5 см^2.