Question

(Б) Две пары противоположных сторон шестиугольника соответственно параллельны и равны. Докажите, что третья пара его противоположных сторон обладает тем же свойством. Заранее спасибо!!!​ 20 баллов.

Answer 1

Шестиугольник ABCDEF

Если в четырехугольнике противоположные стороны параллельны и равны, то четырехугольник является параллелограммом.

Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

AB||DE, AB=DE => ABDE - параллелограмм => O - середина AD и BE

BC||EF, BC=EF => BCEF - параллелограмм => O - середина BE и CF

Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то четырехугольник является параллелограммом.

O - середина СF и AD => FACD - параллелограмм => AF||CD, AF=CD

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

На рисунке показан случай не выпуклого шестиугольника.

AB=DE, AB||DE, AF=CD, AF||CD, BC=FE

BC||FE ?

Answer 3

Для доказательства данного утверждения используем свойство параллельных прямых:

Пусть две пары противоположных сторон шестиугольника параллельны и равны. Обозначим эти стороны как AB и CD, где AB || CD и AB = CD.

Рассмотрим третью сторону шестиугольника - EF. Нам нужно доказать, что EF || AB и EF = AB.

Предположим, что EF не параллельна AB, то есть EF пересекает AB в точке K.

Так как AB || CD и EF пересекает AB, то EF также пересекает CD в некоторой точке L.

Так как AB = CD и точка K принадлежит AB, то KL = LK (так как KL - это часть AB, а LK - часть CD). Также, так как KL = LK, то точка L лежит на середине прямого участка EF.

Однако, это противоречит условию, что EF параллельна AB, так как в этом случае прямые EF и CD не могут пересекаться.

Значит, предположение о том, что EF не параллельна AB, неверно, и EF должна быть параллельна AB.

Теперь рассмотрим длины сторон EF и AB. Предположим, что EF != AB, то есть EF не равна AB.

Пусть EF > AB.

Так как EF и AB параллельны, то мы можем провести прямые, перпендикулярные EF и AB, из точек E и A соответственно, пересекающиеся в точке M.

Так как EF > AB, прямая EM точно должна быть длиннее, чем прямая AM.

Так как AM – это одна из сторон параллелограмма MAKL (так как AM параллельна KL, и MA = KL), а диагонали параллелограмма делятся пополам, то AM > MK.

Из этого следует, что EM > MK, так как EM = AM + MK (по принципу треугольника).

Таким образом, получаем, что EM > MK, что означает, что EM не равно KL.

Так как EM ≠ KL, точка M не принадлежит отрезку KL, что противоречит условию задачи.

Из этого следует, что предположение о том, что EF != AB, неверно, и EF должна быть равна AB.

Таким образом, третья пара противоположных сторон шестиугольника также параллельна и равна, что и две первые пары сторон.

Таким образом, доказано, что третья пара противоположных сторон шестиугольника обладает тем же свойством, что и две первые пары.