Question

Около прямоугольного треугольника ABC описана окружность, радиус которой равен 4. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности, если известно, что OO1=2, где O и O1 - центры вписанной и описанной окружности.

Answer 1

Объяснение:

Центр описанной окружности , в прямоугольном треугольнике , лежит на середине гипотенузы.Значит гипотенуза АВ=8.

Пусть в ΔАВС, ∠С=90°, радиус вписанной окружности -х. Т.к. радиус , проведенный в точку касания перпендикулярен касательной , то ОК⊥СВ и ОМ⊥СА, т.е СКОМ-квадрат.Тогда СМ=СК=х.

По своству отрезков касательных (Отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, от общей точки до точек касания равны друг другу) имеем

ВК=ВО₁=4 и значит ВС=х+4

АМ=АО₁=4 и значит АС=х+4.

По т. Пифагора для ΔАВС имеем ВА²=ВС²+АС²

(х+4)²+(х+4)²=8²

2*(х+4)²=8²

(х+4)²=8²/2

х+4=8/√2       или     х+4=-8/√2

х=-4+8/√2       или     х=-4-8/√2 ( не подходит по смыслу х>0).

Значит радиус вписанной окружности  х=-4+8/√2  =-4+4√2=4(√2-1)

Answer 2

Для начала, построим треугольник ABC с описанной окружностью и ее центром O, а также с вписанной окружностью и ее центром O1. Заметим, что радиус описанной окружности равен половине гипотенузы прямоугольного треугольника ABC. Пусть AB - гипотенуза, а AC и BC - катеты. Тогда радиус описанной окружности R равен R = AB/2. Также, по свойствам прямоугольного треугольника, сумма катетов равна гипотенузе: AC + BC = AB. Если обозначить полупериметр треугольника как p = (AC + BC + AB)/2, то его площадь можно выразить как S = √(p * (p - AB) * (p - AC) * (p - BC)). По формуле площади треугольника, обозначив радиус вписанной окружности как r, мы получаем S = p * r. Известно, что oo1 = 2, то есть расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей равно 2. Опишем равнобедренный прямоугольный треугольник ABO1 с гипотенузой AB и равными катетами AO1 и BO1. Отметим, что радиус вписанной окружности r равен половине суммы катетов AO1 и BO1: r = (AO1 + BO1)/2. Также, по свойствам треугольника, мы можем записать равенство (AO1 + BO1)^2 = (AB + oo1)^2. Подставим в это равенство значения радиуса описанной окружности и известное расстояние между центрами окружностей: (AO1 + BO1)^2 = (AB + 2)^2. Таким образом, мы получаем квадратное уравнение, решив которое, найдем значения AO1 и BO1. Затем, подставив их в уравнение для радиуса вписанной окружности, найдем значение r.