Question

В треугольнике КРН проведена биссектриса РL, угол РLК равен 113°, угол РНК равен 106°. Найдите угол РКН .Ответ дайте в градусах.​

Answer 1

Розсмотрим ∆LHР. Угол PLH=180-113=67°. Тогда угол HPL=180-(106+67)=7°. Поскольку PL биссектриса угла KPH, то угол LPK=угол HPL=7°. Следственно угол РКН=180-(113+7)=60°.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся следующими свойствами биссектрисы треугольника.

Свойство 1: Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные другим двум сторонам треугольника. То есть, в данном случае, отношение длин отрезков RL и LK будет равно отношению длин сторон RP и PK:

RL/LK = RP/PK.

Свойство 2: Угол, лежащий против отрезка, на который биссектриса делит противолежащую сторону, равен полусумме других двух углов треугольника. То есть, в данном случае, угол RLP равен полусумме углов Р и К:

RLP = (Р+К)/2.

Угол КРН = Р + РНК.
Подставим значения углов из условия:
Угол КРН = 113 + 106 = 219°.

Теперь построим уравнение на основе свойства 1:
RL/LK = RP/PK.

Составим уравнение, используя известные углы и правило синусов для треугольника РКН:
sin(КРН)/RL = sin(149)/RP.

Так как sin(149) = sin(180-149) = sin(31), упрощаем уравнение:
sin(КРН)/RL = sin(31)/RP.

Используем условие свойства 2:
RLP = (Р+К)/2.

Подставляем значения из условия:
(Р+К)/2 = 113 + К/2.

Теперь перепишем уравнение свойства 1, используя обозначения RL, LK, RP и PK:
RL/LK = RP/PK.

Заменим значения RL, RP и sin(31) на найденные значения, используя уравнение свойства 2:
(2*RLP-(RLP-113))/LK = sin(31)/(2*RP-(RP*RLP)).

Упростим это уравнение:
2*RLP-RLP+113 = (sin(31)*LK)/(2*RP-(RP*RLP)).

Упрощаем дальше:
RLP+113 = (sin(31)*LK)/(2*RP-(RP*RLP)).

Подставим известные значения и упростим еще раз:
113+113 = (sin(31)*LK)/(2*RP-(RP*RLP)).

Далее, решим это уравнение численно:
226 = (0,515*LK)/(2*RP-(RP*RLP)).

Перегруппируем уравнение и найдем выражение для РКН:
РКН = (226*(2*RP-(RP*RLP)))/0,515*LK.

Теперь подставляем известные значения и рассчитываем:
RP = RK*sin(106) / sin(219),
LK = sqrt(RK^2 + PK^2 - 2*PK*RK*cos(106)).

Подставляем значения PK и решаем квадратное уравнение для LK:
LK = sqrt(RK^2 + PK^2 - 2*PK*RK*cos(106)).