Question

из точки к плоскости проведены две наклонные . Известно,что одна из них на 2 см больше другой , а их проекции равны 3 см и 4 см .Найдите длины этих наклонных .

Answer 1

Решение задания приложено

Answer 2

Для решения этой задачи можно использовать теорему Пифагора. Поскольку мы знаем, что одна наклонная больше другой на 2 см, и что их проекции равны 3 см и 4 см, мы можем построить два прямоугольных треугольника.

Пусть SA и SB - это наклонные, AO - перпендикуляр к плоскости, который мы обозначим как x, и OB - также перпендикуляр к плоскости, который мы обозначим как y. Из условия задачи мы знаем, что x > y, так как SA > SB.

Из прямоугольного треугольника AOS и прямоугольного треугольника BOS мы получим следующие уравнения:

x^2 = SA^2 - AO^2, y^2 = SB^2 - OB^2.

Так как проекции наклонных равны, то AO/OB = 3/4, то есть x/y = 3/4. Подставляя это в уравнение для x, получим x = 3y/4. Подставляя это в уравнение для SA, получим:

(3y/4)^2 = SA^2 - AO^2, y^2/16 = SA^2 - AO^2, y^2/16 = SA^2 - (3y)^2, y^2/16 = SA^2 - 9y^2, -8y^2/16 = SA^2 - 9y^2, -8y^2 = 12y^2 - 9y^2, -8y^2 = 3y^2, -5y^2 = 0, y^2 = 0.

Отсюда следует, что y = 0, что невозможно, так как y - это длина наклонной. Таким образом, мы делаем ошибку при расчете. Верное решение задачи следует из условия, что SA > SB на 2 см. Тогда SB = SA - 2. Подставляя это в уравнение для SA, получим:

x^2 = (SA - 2)^2 - AO^2, x^2 = SA^2 - 4SA + 4 - AO^2, x^2 = SA^2 - AO^2 - 4SA + 4, x^2 = (SA - 4)^2 - 4AO^2.

Так как x > y, то x > 3y/4. Подставляя это в уравнение для x, получим:

(3y/4)^2 = (SA - 2)^2 - AO^2, y^2/16 = SA^2 - 4SA + 4 - AO^2, y^2/16 = SA^2 - AO^2 - 4SA + 4, y^2/16 = (SA - 4)^2 - 4AO^2.

Отсюда следует, что y^2/16 = (SA - 4)^2 - 4AO^2. Подставляя SA = SB + 2, получим:

y^2/16 = (SB + 2 - 4)^2 - 4AO^2, y^2/16 = (SB - 2)^2 - 4AO^2.

Отсюда следует, что y^2 = 16(SB - 2)^2 - 64AO^2, y = sqrt(16(SB - 2)^2 - 64AO^2).

Таким образом, мы нашли длину одной из наклонных. Другая наклонная будет SB = SA - 2 = sqrt(16(SB - 2)^2 - 64AO^2) + 2.

Источники: [Source 10](http://physmatica.ru/reshebniki/reshebnik-geometriya-10-11-klassy-a-v-p