Question

вычислите площадь прямоугольника, если перпендикуляр, проведённый из вершины к диагонали, делит её на отрезки длиной 3 см и 12 см

Answer 1

Перпендикуляр, проведенный из вершины прямоугольника к его диагонали, делит ее на отрезки, равный 3 см и 12 см. Найдите площадь прямоугольника ( в. см^2). 1. Попроси больше объяснений. ... Диагональ разбивает прямоугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника рассмотрим один ...этот перпендикуляр опущенный на диагональ будет высотой прямоугольного треугольника она(высота)=v(3*12)=v36=6 один катет этого треугольника=v(6^2+3^2)=v(36+9)=v45=3v5 второй катет=v(6^2+12^2)=v(36+144)=v180=6v5 площадь прямоугольника=6v5

Answer 2

Для нахождения площади прямоугольника, когда из вершины этого прямоугольника проведена перпендикуляр к диагонали, делит её на отрезки длиной 3 см и 12 см, можно использовать свойство подобия треугольников.

Пусть \(AC\) - диагональ прямоугольника, а \(BD\) - перпендикуляр, проведенный из вершины \(B\) к диагонали \(AC\). Этот перпендикуляр делит диагональ на отрезки длиной 3 см и 12 см. Пусть \(BD = 3\,см\) и \(DC = 12\,см\).

Из свойств подобия треугольников \(ABD\) и \(BCD\) можно составить пропорцию отношений их сторон:

\[\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{BD}\]

Для удобства обозначим стороны прямоугольника как \(a\) и \(b\). Тогда \(AC = a\) и \(BC = b\).

Имеем два треугольника: \(ABD\) и \(BCD\). Согласно подобию треугольников, отношение сторон одного треугольника к сторонам другого треугольника одинаково:

\[\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{BD}\]

Зная, что \(BD = 3\,см\) и \(DC = 12\,см\), мы также можем выразить \(AB = a\) и \(AD = b\).

Теперь можно записать пропорцию:

\[\frac{a}{b} = \frac{b}{3}\]

Далее решим эту пропорцию для нахождения \(a\) и \(b\):

\[a = \frac{b^2}{3}\]

Также у нас есть данные о длине диагонали прямоугольника \(AC = a\), которая представляет собой гипотенузу треугольника \(ABC\). С помощью теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника \(ABC\) можно найти \(a\):

\[a^2 = b^2 + 12^2\] \[a^2 = b^2 + 144\]

Теперь мы можем выразить \(a\) через \(b\) в выражении \(a = \frac{b^2}{3}\) и подставить это значение в уравнение для \(a^2\):

\[\left(\frac{b^2}{3}\right)^2 = b^2 + 144\] \[\frac{b^4}{9} = b^2 + 144\] Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от знаменателя: \[b^4 = 9b^2 + 1296\] \[b^4 - 9b^2 - 1296 = 0\]

Теперь это уравнение можно решить, например, методом подстановки, чтобы найти значение \(b\) (сторона прямоугольника), а затем и значение \(a\) (диагональ прямоугольника). После этого площадь прямоугольника будет равна произведению его сторон: \(Площадь = a \times b\).