Question

Плоскость, параллельная основанию пирамиды, делит ее на две части, площади боковых поверхностей которых равны. Найдите отношение объемов этих частей.

Answer 1

Площадь треугольника, отрезаемого от каждой боковой грани этой плоскостью в 2 раза меньше площади боковой грани пирамиды. Значит коэффициент подобия этих треугольников (а они подобны т.к. плоскость параллельна основанию) равен $\sqrt{2}$. Значит объем пирамиды равен $(\sqrt{2})^3=2\sqrt{2}$ объемов маленькой пирамидки, отрезаемой этой плоскостью. Значит отношение объема нижней части пирамиды, к объему этой маленькой пирамидки равно $(2\sqrt{2}-1):1$.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится знать, что площадь боковой поверхности пирамиды можно вычислить по формуле:

S = (периметр основания * apothem) / 2

где периметр основания - сумма длин всех сторон основания пирамиды, а apothem - расстояние от центра основания до середины любой из ее сторон.

Поскольку плоскость, параллельная основанию пирамиды, делит ее на две части, площади боковых поверхностей которых равны, мы можем сказать, что эта плоскость проходит через середину высоты пирамиды. Таким образом, эта плоскость разделяет пирамиду на две пирамиды равного объема.

Отношение объемов этих частей можно найти, используя формулу для объема пирамиды:

V = (1/3) * S * h

где S - площадь основания пирамиды, а h - высота пирамиды.

Поскольку обе части пирамиды имеют равные площади боковых поверхностей, они также имеют равные площади основания и одинаковую высоту. Таким образом, отношение объемов этих частей будет равно 1:1, то есть они имеют одинаковый объем.

Таким образом, ответ на ваш вопрос - отношение объемов этих частей пирамиды равно 1:1.