Question

Знайдіть площу повної поверхні конуса, якщо його висота дорівнює H, а твірна утворює кут a з площиною основи. На русском языке: Найдите площадь полной поверхности конуса, если его высота равна H, а образующая образует угол a с плоскостью основания

Answer 1

См. рисунок.

1) Пусть ABS - данный конус. SO⊥AB, SO - высота конуса, SO=H.

∠SBO=α.

S(полной поверхности)-?

2) S(п.п.)=Sоснования+Sбок.

So=πR²

Sб=πRl

Из треугольника SOB(∠SOB=90°)

OB=tg(α)*H=R

SB=H\sin(α)=l

$Sp.p=S_o+S_b=\pi R^2+\pi Rl=\\\\ =\pi(tg\alpha *H)^2+\pi*tg\alpha*H*\frac{H}{sin\alpha }=\\\\=\pi tg^2(\alpha)H^2+\frac{\pi tg(\alpha)H^2}{sin\alpha }=\frac{\pi tg^2(\alpha )H^2 sin(\alpha )+\pi tg(\alpha )H^2}{sin\alpha }=\\\\={\frac{\pi tg(\alpha )H^2(tg(\alpha)sin(\alpha )+1)}{sin\alpha }=\frac{\pi*\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha )}H^2(\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}*sin(\alpha)+1 )}{sin(\alpha )}}=\\\\=\frac{\pi H^2\frac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}*\frac{sin^2(\alpha)+cos(\alpha)}{cos(\alpha)}}{sin(\alpha)}=\frac{\frac{\pi H^2(sin^2(\alpha)+cos(\alpha))}{cos^2(\alpha)}}{sin(\alpha)}=\frac{\pi H^2(sin^2(\alpha)+cos(\alpha))}{cos^2(\alpha)}=\\\\=\boxed{\frac{\pi H^2*sin^2(\alpha)+\pi H^2*cos(\alpha)}{cos^2(\alpha)} }$

Answer 2

Площадь полной поверхности конуса можно найти с помощью следующей формулы:

S = π * R * (R + L),

где: S - площадь полной поверхности конуса, π (пи) - математическая константа, примерно равная 3.14159, R - радиус основания конуса, L - длина образующей конуса.

Образующая конуса связана с его высотой (H) и радиусом основания (R) следующим образом:

L = √(R^2 + H^2).

Теперь мы можем выразить площадь полной поверхности конуса через его высоту (H) и угол (a), который образующая образует с плоскостью основания. Угол a можно использовать для нахождения радиуса основания:

R = H * tan(a).

Теперь мы можем выразить длину образующей (L) через радиус основания (R) и угол (a):

L = √(R^2 + H^2) = √((H * tan(a))^2 + H^2) = H * √(1 + tan^2(a)) = H * √(1 + tan^2(a)).

Теперь, используя значение L и радиус R, мы можем найти площадь полной поверхности конуса:

S = π * R * (R + L) = π * H * tan(a) * (H * tan(a) + H * √(1 + tan^2(a))) = π * H^2 * tan(a) * (tan(a) + √(1 + tan^2(a))).

Это и есть формула для нахождения площади полной поверхности конуса, если известны его высота (H) и угол (a), который образующая образует с плоскостью основания.