Question

Решите пожалуйста 3 задачи по геометрии 1. Периметр треугольника равен 27 см. Одна сторона треугольника в два раза меньше второй его стороны. Третья сторона на 3 см меньше второй стороны. Найдите стороны треугольника. 2. MNK – равнобедренный треугольник. Высота NF, опущенная из вершины N на основание MK, делит этот треугольник на два треугольника. Высота NF на 1 см длиннее стороны MF вновь образованного треугольника MNF и на 1 см короче стороны MN. Периметр треугольника MNF равен 12 см. Найдите длину NF. 3. У равнобедренного треугольника PKN с основанием KN на медиане РМ отмечена точка О. Докажите, что треугольник KON является равнобедренным.

Answer 1

В 3 и 2 не разобралась(

Answer 2

1. Пусть x - длина первой стороны треугольника, y - длина второй стороны, и z - длина третьей стороны. У нас есть следующие условия:
   • Периметр треугольника равен 27 см, что можно записать как x + y + z = 27.
   • Одна сторона треугольника в два раза меньше второй, что можно записать как x = 0.5y.
   • Третья сторона на 3 см меньше второй, что можно записать как z = y - 3.

Теперь мы можем решить эту систему уравнений:

Заменим x в первом уравнении согласно второму уравнению: 0.5y + y + z = 27. Заменим z в первом уравнении согласно третьему уравнению: 0.5y + y + (y - 3) = 27.

Теперь объединим переменные y: 2.5y - 3 = 27.

Добавим 3 к обеим сторонам: 2.5y = 30.

Разделим обе стороны на 2.5: y = 12.

Теперь найдем x и z:

Из второго уравнения x = 0.5y = 0.5 * 12 = 6 см.

Из третьего уравнения z = y - 3 = 12 - 3 = 9 см.

Итак, стороны треугольника равны: x = 6 см, y = 12 см, z = 9 см.

2. Пусть NF - длина высоты, а x - длина стороны MF вновь образованного треугольника MNF. У нас есть следующие условия:
   • Высота NF на 1 см длиннее стороны MF вновь образованного треугольника, что можно записать как NF = x + 1.
   • Высота NF на 1 см короче стороны MN, что можно записать как NF = MN - 1.
   • Периметр треугольника MNF равен 12 см, что можно записать как MK + KN + NF = 12.

Теперь мы можем решить эту систему уравнений:

Сначала заменим NF в первом и втором уравнениях: x + 1 = MN - 1.

Теперь заменим NF в третьем уравнении: MK + KN + (x + 1) = 12.

Теперь у нас есть два уравнения с x и MN:

1. x + 1 = MN - 1
2. MK + KN + (x + 1) = 12

Из уравнения 1 выразим MN: MN = x + 2.

Подставим это значение в уравнение 2: MK + KN + (x + 1) = 12.

Теперь у нас есть два уравнения с MK, KN и x:

1. MK + KN + (x + 1) = 12
2. MK + KN = x + 1

Вычитаем второе уравнение из первого: (MK + KN + (x + 1)) - (MK + KN) = 12 - (x + 1).

x + 1 - 0 = 12 - x - 1.

x + 1 = 11 - x.

Теперь сложим x и x на одну сторону и вычитаем 1 с обеих сторон: 2x = 10.

Разделим обе стороны на 2: x = 5.

Теперь, зная x, мы можем найти длину NF, используя первое уравнение: NF = x + 1 = 5 + 1 = 6 см.

Итак, длина NF равна 6 см.

3. Чтобы доказать, что треугольник KON является равнобедренным, мы должны использовать свойства равнобедренных треугольников. У нас уже есть равнобедренный треугольник PKN с медианой РМ, и точка О на этой медиане.

Свойство равнобедренных треугольников гласит, что медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, делит треугольник на два равных треугольника.

Поскольку РМ - медиана треугольника PKN, она делит треугольник PKN на два равных треугольника. Точка О находится на этой медиане, следовательно, она делит PKN на два равных треугольника.

Таким образом, треугольники KON и KOM (где M - середина стороны PKN) равны по площади, так как они оба являются половинами треугольника PKN.

Из этого следует, что треугольники KON и KOM также равнобедренные, так как равные треугольники имеют равные углы и равные стороны.

Таким образом, треугольник KON является равнобедренным.