Question

Помогите, нужно очень срочночерез центр О квадрата ABCD проведено до його площини перпендикуляр SO. Кут між прямою SC і площиною квадрата дорівнює 60 градусів, AB=18 см. знайдіть кут між площинами ASC i DSC

Answer 1

Вам немного не повезло. Ночью я решил Вашу задачу, уже дописывал (примерно 90 %), но вдруг сайт "глюканул",  выбросил мой ответ и перестал меня "узнавать".
Писать второй раз я уже не стал, и вот, только через 10 часов приступаю снова.
 AC и ВD - диагонали квадрата и равны 18*√(2). Соединим точку S отрезками с вершинами квадрата. Получится правильная четырехугольная пирамида. Плоскость ASC делит пирамиду пополам. В треугольнике ASC углы SAC и SCA равны 60° (по условию). Значит этот треугольник равносторонний и ребра SA и SC (а также и ребра SB и SD) равны 18*√(2). В грани DSC проведем апофему SE. Она разделит треугольник DSC на два прямоугольных треугольника DSE и ESC. По теореме Пифагора SE= √((18*√(2))^2-9^2)=9*√(7). Площадь треугольника DSC равна 18*9*√(7)/2=81*√(7).
Угол между плоскостями определяется углом между перпендикулярами, проведенными к линии пересечения плоскостей, в данном случае к ребру SC. Но, поскольку пирамида правильная, то угол (α) между плоскостями ASC и BSC будет таким же как и между плоскостями  ASC и DSC. Значит угол между плоскостями BSC и DSC будет в 2 раза больше (2*α), но вычислить его проще, поэтому будем вычислять угол (2*α).
Из точек B и D проведем перпендикуляры (BN) и (DN) к ребру SC. Рассмотрим треугольник BND. Он равнобедренный, BN=DN, а  BD=18*√(2).
Ранее мы вычислили, что площадь треугольника DSC равна 81*√(7). Но эту же площадь можно определить как SC*DN/2, отсюда DN=2*81*√(7)/(18*√(2))=9*√(7/2).
Итак, в треугольнике  BND BN=DN=9*√(7/2), BD=18*√(2)=9*√(8). По теореме косинусов получаем:
(9*√(7/2))^2+(9*√(7/2))^2-2*(9*√(7/2))*(9*√(7/2))cos(2*α)=(9*√(8))^2
81*7-81*7*cos(2*α)=81*8, cos(2*α)=(-1/7). Тогда sin(α)=√((1+1/7)/2)=√(4/7).
α=arcsin(√(4/7)).
Вот такой у меня получился ответ. Он конечно "некрасивый", но...

Answer 2

Для решения данной задачи, нам потребуется использовать основные геометрические свойства и формулы. Давайте разберемся шаг за шагом:

1. Построение: Начнем с построения фигуры. У нас есть квадрат ABCD и плоскость SO, перпендикулярная к плоскости квадрата. Проведем прямую SC, которая пересекает плоскость квадрата под углом 60 градусов.

2. Решение: Для начала, давайте найдем угол между плоскостями ASC и DSC. Для этого мы можем использовать свойство перпендикулярных плоскостей, которое гласит, что две плоскости перпендикулярны, если их нормальные векторы перпендикулярны.

Вектор, перпендикулярный плоскости ASC, может быть найден путем взятия векторного произведения двух векторов, лежащих в плоскости ASC. Для этого возьмем векторы AS и AC:

AS = AB + BS = AB + SC = AB + (SA + AC).

Мы знаем, что AB = 18 см, а угол между прямой SC и плоскостью квадрата равен 60 градусов. Таким образом, мы можем найти вектор AS:

AS = AB + SC = 18 + (SA + AC).

Теперь мы можем найти вектор AC:

AC = AS - SA.

Следовательно, вектор AS равен:

AS = 18 + (SA + AS - SA) = 18 + 2AS.

Отсюда получаем:

AS = 9 см.

Теперь мы можем найти вектор, перпендикулярный плоскости ASC, путем взятия векторного произведения AS и AC:

n_ASC = AS x AC.

Для этого нам понадобится найти длину векторного произведения:

|n_ASC| = |AS| * |AC| * sin(θ),

где θ - угол между векторами AS и AC.

Теперь у нас есть все необходимые данные для вычисления угла между плоскостями ASC и DSC.

3. Результат: Найдя векторный угол между плоскостями ASC и DSC, мы можем найти угол между этими плоскостями, используя свойство перпендикулярных плоскостей.

Замечание: В формуле выше, |AS| и |AC| обозначают длины векторов AS и AC соответственно, а sin(θ) - синус угла θ между векторами AS и AC. Для нахождения векторного произведения векторов AS и AC, можно использовать формулу:

AS x AC = (AS_y * AC_z - AS_z * AC_y, AS_z * AC_x - AS_x * AC_z, AS_x * AC_y - AS_y * AC_x),

где AS_x, AS_y, AS_z - компоненты вектора AS, а AC_x, AC_y, AC_z - компоненты вектора AC.

*Примечание: Для более точного решения задачи, рекомендуется использовать точные значения для расчетов, а не округленные числа.*