Question

В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основания равна 6, а боковое ребро AA1 1. Точка F принадлежит ребру C1D1 и делит его в отношении 2 :1, считая от вершины C1 . Найдите площадь сечения этой призмы плоскостью, проходящей через точки A, C и F .

Answer 1

По свойству параллельных плоскостей:

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны. ⇒

FQ-линия пересечения искомой плоскости с верхним основанием призмы. FQ||AC

По условию СF:FD1=2:1 ⇒

СD1:FD1=3:1

FD1=6:3=2 

∆ FD1Q~∆ ADC – прямоугольные, их стороны параллельны. 

AC=AD:sin45°=6√2

Из подобия  ∆ FD1Q~∆ ADC  следует  ∠D1FQ=DCA=45°

FQ=FD1:sin45°=2√2

CFQA - равнобедренная трапеция. FP⊥AC, FP- высота 

Высота равнобедренной трапеции, проведенная из тупого угла, делит большее основание на отрезки, меньший из которых равен полуразности оснований, больший – их полусумме. 

СР=(АС-FQ):2=2√2

FC²=CF²+CC1*=17

Из прямоугольного ∆ СFP по т.Пияагора 

FP=√(CF²-CP²)=√(17-8)=3

S(CFQA)=FP•(FQ+AC):2=3•(2√2+6√2):2=12√2 (ед площади)

Answer 2

Чтобы найти площадь сечения призмы, проходящей через точки A, C и F, вам нужно определить точные координаты этих точек и затем использовать их для нахождения площади треугольника, образованного этими тремя точками.

Для начала давайте найти координаты точек A, C и F.

Так как сторона основания равна 6, а боковое ребро AA1 = 1, мы можем сделать следующие предположения:

1. Координаты точки A: A(0,0,0).
2. Так как точка F делит отрезок C1D1 в отношении 2:1, считая от вершины C1, мы можем предположить, что координаты C1 и D1 следующие: C1(6,0,0) и D1(6,0,3).
3. Так как точка F делит отрезок C1D1 в отношении 2:1, считая от вершины C1, координаты точки F могут быть найдены как среднее значение координат C1 и D1 умноженное на 2/3 и 1/3 соответственно.

Теперь, найдя координаты A, C и F, мы можем вычислить площадь треугольника, образованного этими тремя точками, используя формулу площади треугольника по координатам вершин.

После нахождения координат точек и вычисления площади треугольника, можно найти площадь сечения призмы.

Answer 3

Для решения данной задачи мы можем использовать свойства параллелограммов и прямоугольников, а также применить базовые знания геометрии.

Из условия задачи известно, что сторона основания четырёхугольной призмы равна 6, а боковое ребро $AA_1$ равно 1. Из этого следует, что высота четырёхугольника $ABCD$ равна 6. Поскольку $AF$ делит отрезок $C_1D_1$ в отношении 2:1, $FC_1 = \frac{2}{3}C_1D_1$. Теперь нам нужно найти площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через точки $A$, $C$ и $F$.

Сначала найдём высоту треугольника $ACF$, а затем используем её для нахождения площади треугольника.

Высота треугольника $ACF$ будет равна $AF\sin(\angle CAF)$. Так как треугольник $ACF$ -- прямоугольный, то $\sin(\angle CAF) = \frac{AC}{AF}$.

Таким образом, высота треугольника $ACF$ равна $\frac{AC^2}{AF} = \frac{6^2}{1} = 36$.

Площадь треугольника $ACF$ равна $\frac{1}{2} \times AC \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 6 \times 36 = 108$ квадратных единиц.