Question

медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC втрое больше длины стороны AB/ Найти отношение площади треугольника BKP к площади треугольникаAMK

Answer 1

Т.к. ВМ – биссектриса треугольника АВС, то S(АВМ)=S(ВСМ)

!!! Т.к. АК – биссектриса треугольника АВМ, то S(АВК)=S(АКМ)=S(АВМ)/2=S(ВСМ)/2

Проведем МТ так, что МТ || КР. Тогда КР - средняя линия в треуг-ке ВМТ, а МТ - средняя линия в треуг-ке АРС, значит ВР=РТ=ТС, т.е. ВС=3ВР. По условию ВК=КМ, т.е. ВМ=2ВК. Тогда:

S(KBP)=1/2*ВК*ВР*sinКВР

S(ВСМ)=1/2*ВМ*ВС*sinКВР=1/2*2ВК*3ВР*sinКВР=3*ВК*ВР*sinКВР

!!! Тогда  S(KBP)/S(ВСМ) = 1/ 6

Сравниваем строчки , помеченные !!! и получаем  S(ВКР) : S(АKМ) = 1:3

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу.

Дано:

1. Медиана BM и биссектриса AP пересекаются в точке K.
2. Длина стороны AC втрое больше длины стороны AB.

Пусть сторона AB равна a, а сторона AC равна 3a.

Сначала найдем длины сторон треугольника ABC, используя теорему Пифагора. Пусть BC = x, то есть сторона, противолежащая медиане BM. Тогда:

AB² + BC² = AC² a² + x² = (3a)² a² + x² = 9a² x² = 8a² x = 2a

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника ABC: AB = a, BC = 2a, и AC = 3a.

Теперь давайте найдем отношение площадей треугольников BKP и AMK. Поскольку точка K является пересечением медианы BM и биссектрисы AP, она также является центром масс треугольника ABC.

Отношение площадей треугольников BKP и AMK равно отношению высот этих треугольников, проведенных из точки K к их основаниям BK и AK соответственно.

Высота треугольника BKP из точки K будет равна медиане BM, то есть половине стороны BC, т.е., BK = BC/2 = 2a.

Высота треугольника AMK из точки K будет равна биссектрисе AP, то есть AK = (AB * AC) / (AB + AC). Теперь мы можем выразить AB и AC через a:

AB = a AC = 3a

Тогда:

AK = (a * 3a) / (a + 3a) = (3a²) / (4a) = 3a/4

Теперь мы можем вычислить отношение площадей:

Отношение площадей BKP и AMK = (Площадь BKP) / (Площадь AMK) = (1/2 * BK) / (1/2 * AK) = (2a) / (3a/4) = (8a) / (3a)

Сокращаем a:

Отношение площадей BKP и AMK = 8/3

Итак, отношение площади треугольника BKP к площади треугольника AMK равно 8/3.