Question

как найти площадь треугольника ABC если вершины  1) А(4;2;5) в(0;7;2) с (1;-5;0)   2)  А(-2;8;2) в(6;8;0) с (7;0;3)  

Answer 1

Я бы мог решить через векторные произведения, но поступим проще, с применением формулы Герона для нахождения площади треугольника, если известны только длины сторон.

S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

 

1) Применяем формулу для нахождения расстояния между точками в пространстве по их координатам:

АВ=√(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²  (Под корнем всё выражение!!!)

Целых значений тут не получится, поэтому буду округлять.

Тем более, что через векторные произведения тоже целого конечного результата не получится. 

АВ=√((0-4)²+(7-2)²+(2-5)²)=√(16+25+9)=√50≈7,07

ВС=√((1-0)²+(-5-7)²+(0-2)²)=√(1+144+4)=√149≈12,21

АС=√((1-4)²+(-5-2)²+(0-5)²)=√(9+49+25)=√83≈9,11

р=(7,07+12,21+9,11)/2≈14,2

S=√(14,2(14,2-7,07)(14,2-12,21)(14,2-9,11))≈32

 

2)

АВ=√(64+0+4)=√68≈8,25

ВС=√(1+64+9)=√74≈8,6 

АС=√(81+64+1)=√146≈12,08

р=(8,25+8,6+12,08)/2≈14,46

S=√(14,46(14,46-8,25)(14,46-8,6)(14,46-12,08))≈35,38

Answer 2

Для того чтобы найти площадь треугольника по координатам его вершин, вы можете воспользоваться формулой Герона, если у вас есть длины всех сторон треугольника, или использовать векторное произведение, если у вас есть координаты вершин.

Для первого треугольника ABC (вершины A(4;2;5), B(0;7;2) и C(1;-5;0)):

1. Найдите векторы AB и AC, которые определяют две стороны треугольника. AB = (0 - 4, 7 - 2, 2 - 5) = (-4, 5, -3) AC = (1 - 4, -5 - 2, 0 - 5) = (-3, -7, -5)

2. Теперь вычислите векторное произведение векторов AB и AC:

   N = AB × AC N = i * ((5 * -5) - (-7 * -3)) - j * ((-4 * -5) - (-3 * -3)) + k * ((-4 * -7) - (5 * -3)) N = i * (25 - 21) - j * (-20 - 9) + k * (28 - 15) N = 4i + 29j + 13k

3. Вычислите длину вектора N, которая будет площадью треугольника:

   Площадь = |N| = √(4^2 + 29^2 + 13^2) ≈ √(16 + 841 + 169) ≈ √1026 ≈ 32.01 (приближенно)

Площадь первого треугольника ABC примерно равна 32.01 квадратным единицам.

Аналогично, вы можете найти площадь второго треугольника с вершинами A(-2;8;2), B(6;8;0) и C(7;0;3), используя те же шаги.