Question

Доказать теорему о равенстве прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету

Answer 1

Катет прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30º, равен половине гипотенузы.

Пусть ABC - прямоугольный треугольник с прямым углом C и углом B равным 30º, а значит, угол A равен 60° (рис. 3). Построим треугольник DBC равный треугольнику ABC, как показано на рисунке. У треугольника ABD все углы равны (60º), поэтому он равносторонний.
Так как AC=AD, а AD=AB, то AC=AB.

что и требовалось доказать 

Answer 2

Теорема о равенстве прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету является частью теории подобных треугольников. Эта теорема гласит, что если в двух прямоугольных треугольниках гипотенуза одного треугольника равна катету другого треугольника, а один из катетов первого треугольника равен гипотенузе второго треугольника, то эти треугольники подобны и равны.

Для доказательства этой теоремы, предположим, что у нас есть два прямоугольных треугольника, назовем их ΔABC и ΔDEF, где:

• В ΔABC гипотенуза равна AB, а катет BC равен DE.
• В ΔDEF гипотенуза равна DE, а катет EF равен AB.

Мы хотим доказать, что эти два треугольника подобны и равны.

Для начала, давайте рассмотрим угол между гипотенузой и катетом в каждом из треугольников. В ΔABC это угол C, а в ΔDEF - угол F. Поскольку прямой угол (90 градусов) одинаков для обоих треугольников, то угол C равен углу F.

Теперь рассмотрим другие углы в каждом треугольнике. В ΔABC угол B равен 90 градусам, и, следовательно, угол A равен 90 - C. В ΔDEF угол E также равен 90 градусам, и, следовательно, угол D равен 90 - F. Поскольку угол C равен F (как мы установили ранее), то угол A равен D.

Таким образом, у нас есть следующие соответствия углов между этими двумя треугольниками:

• Угол A в ΔABC соответствует углу D в ΔDEF.
• Угол B в ΔABC соответствует углу E в ΔDEF.
• Угол C в ΔABC соответствует углу F в ΔDEF.

С учетом этих соответствий углов мы видим, что треугольники ΔABC и ΔDEF подобны, так как соответствующие углы равны, и, следовательно, соответствующие стороны пропорциональны.

Таким образом, теорема о равенстве прямоугольных треугольников по гипотенузе и катету доказана.