Question

У прямокутному трикутнику АВС ( /С = 90°) провели висоту СD. Доведіть, що бісектриси кутів АВС і АСD перпендикулярні.

Answer 1

Ответ:

ΔАВС - прямоугольный , ∠С=90° ,  СD ⊥ AB , ВО - биссектриса ∠АВС ,  СО - биссектриса ∠АСD  . Доказать, что ВО ⊥ СО .

ΔАСD и ΔАBC - прямоугольные подобные треугольники .

У них есть общий угол А  и углы по 90° , тогда  ∠АСD=∠АВС .

Отсюда и половинки этих углов будут равны : ∠ОСD = ∠OBD .

Рассмотрим ΔОСМ и ΔDBM .

В этих треугольниках ∠ОМС = ∠DMB как вертикальные , а также

∠ОСМ = ∠DBM ( было доказано выше).

Значит и третьи углы будут равны,  ∠СОM = ∠ВDM .

Но ∠BDM = 90° по условию.

Значит ,  ∠СОМ = 90°  . А это угол - угол между биссектрисами  ВО

и СО .  Поэтому  ВО ⊥ СО .

Answer 2

Для доведення, що бісектриси кутів АВС і АСD перпендикулярні, нам потрібно врахувати властивості прямокутного трикутника та властивості бісектрис.

Позначимо кути так:

1. Нехай кут АСВ дорівнює α.
2. Нехай кут АСД дорівнює β.

Спочатку розглянемо трикутник АСВ (прямокутний трикутник). У ньому ми знаємо, що кут від А до С дорівнює 90 градусів, тобто α + 90° = 180° (сума всіх кутів в трикутнику), отже α = 90°.

Тепер розглянемо трикутник АСД. В ньому ми знаємо, що кут АСД дорівнює β. Оскільки кут АСВ дорівнює 90 градусів (як було показано вище), то сума кутів АСВ і АСД дорівнює 180 градусів (так як вони лежать на одній прямій).

Але ми знаємо, що α = 90°, тобто кут АСВ дорівнює 90 градусів. Отже, α + β = 180°, і звідси випливає, що β = 90°.

Отже, ми довели, що кут АСВ дорівнює 90 градусів (α = 90°) і кут АСД дорівнює 90 градусів (β = 90°). Таким чином, бісектриса кута АВС і бісектриса кута АСД є перпендикулярними одна до одної.