Question

В треугольнике ABC все углы различны и выражаются целым числом градусов, а сторона AC наибольшая. Угол A больше угла C на 20⁰. Сколько значений может принимать угол B?

Answer 1

Если угол С равен х, то угол А (х+20), тогда на долю угла В приходится 180°-х-х-20=160-2х, т.к. все углы выражаются целым числом и различны, то наибольшим угол В будет при условии, что х- наименьшее целое положительное, а оно равно 1°, значит, при х=1° угол В равен 160°-2*1°=158°. Угол В принимает значение, равное 158°, т.к. лежит против большей стороны, то определяется однозначно.

А  всего целых значений, которые мог бы принимать угол В, находим из неравенства 160-2х>0; откуда х меньше 80, т.е. 79 значений. От 1 до 79.

Answer 2

Давайте обозначим угол A как "x" градусов, угол C как "y" градусов, а угол B как "z" градусов.

Мы знаем, что угол A больше угла C на 20 градусов:

x = y + 20

И также у нас есть треугольник, поэтому сумма углов в треугольнике равна 180 градусов:

x + y + z = 180

Так как сторона AC наибольшая, угол B должен быть наименьшим из углов, поэтому:

z < x, z < y

Теперь у нас есть система уравнений и неравенств:

1. x = y + 20
2. x + y + z = 180
3. z < x
4. z < y

Давайте решим эту систему. Сначала подставим выражение для x из первого уравнения во второе:

(y + 20) + y + z = 180

2y + 20 + z = 180

2y + z = 180 - 20

2y + z = 160

Теперь учтем неравенства:

5. z < x
6. z < y

Заметим, что z должен быть наименьшим из трех углов. Из уравнения (1), мы знаем, что x = y + 20, и так как y + 20 всегда больше y (так как 20 положительно), то z < x также означает z < y + 20.

Итак, у нас есть следующая система неравенств:

5. z < x
6. z < y + 20

Теперь объединим все неравенства и рассмотрим их совместно:

2y + z = 160 z < x z < y + 20

Поскольку у нас есть два ограничения на z, мы можем воспользоваться неравенствами и найти максимальное значение z. Давайте рассмотрим максимальное значение для каждого ограничения:

1. z < x: Максимальное значение x (при фиксированном y) - это когда x = 180 (или ближе к 180), таким образом, максимальное значение z будет меньше 180.

2. z < y + 20: Максимальное значение y + 20 - это когда y = 90 (половина суммы углов в треугольнике), таким образом, максимальное значение z будет меньше 110.

Итак, максимальное значение z меньше 110 и меньше 180. Таким образом, максимальное значение z меньше минимума из этих двух чисел, что равно 110.

Таким образом, максимальное значение для угла B (z) составляет 109 градусов. Теперь давайте рассмотрим, сколько значений может принимать угол B.

Угол B может принимать целые значения от наименьшего возможного, которое равно 1, до максимального, равного 109. Поэтому угол B может принимать (109 - 1 + 1) = 109 различных значений.