Question

Помогите!!! Из точки O , Которая является точкой пересечения медиан правильного треугольника A B C , Проведено перпендикуляр OM к плоскости этого треугольника. Найдите угол наклона прямой M A в плоскости A B C , если O M = √ 3 , A B = 3 √ 3 . (Ответ 30. Как его получили!?)

Answer 1

Т. к. треугольник правильный, то все медианы являются биссектрисами и высотами.

Правильный треугольник - треугольник у которого все стороны равны.

Сначала найдем медиану (в правильном треугольнике все медианы равны) по теореме Пифагора. Пусть сторона треугольника а, по условию a = 3*√3.

Пусть длина медианы m. Тогда по т. Пифагора имеем:

m² = a² - (a/2)² = a² - (a²/4) = (3/4)*a²,

m = √(3a²/4) = (a/2)*√3.

m = (3*√3/2)*√3 = 3*3/2 = 9/2.

По известной теореме: медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины, отсюда найдем AO.

AO = (2/3)*m = (2/3)*(9/2) = 3.

Треугольник AMO - прямоугольный, т.к. MO - перпендикуляр к плоскости ABC, поэтому AO⊥MO. По условию MO = √3.

∠MAO -  искомый угол. Из прямоугольного треугольника AMO найдем:

tg(∠MAO) = MO/AO = (√3)/3 = 1/(√3),

∠MAO = arctg(1/√3) = 30°.

Пояснение:

тригонометрические функции углов 30°, 45°, 60° - известны их надо просто запомнить.

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию. У нас есть правильный треугольник ABC, и точка O - его центр масс (пересечение медиан). Проведен перпендикуляр OM к плоскости треугольника, и нам нужно найти угол наклона прямой MA в плоскости ABC.

Сначала обратим внимание, что в правильном треугольнике медианы также являются высотами и медианами одновременно. Таким образом, точка O совпадает с вершиной треугольника A.

Также, поскольку треугольник ABC правильный, то угол BAC (или угол A) равен 60 градусов.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник OMA. У нас есть гипотенуза OM и катет MA.

Из условия задачи OM = √3 и AB = 3√3, следовательно, AM = AB/2 = (3√3)/2.

Теперь мы можем использовать тригонометрию. Тангенс угла наклона прямой MA в плоскости ABC равен отношению катета к гипотенузе:

$\tan(\text{угол наклона}) = \frac{MA}{OM}$

Подставим известные значения:

$\tan(\text{угол наклона}) = \frac{(3√3)/2}{√3}$

Упростим это выражение:

$\tan(\text{угол наклона}) = \frac{3}{2}$

Теперь найдем угол, зная тангенс. Используем арктангенс:

$\text{угол наклона} = \arctan\left(\frac{3}{2}\right)$

Это примерно 56.31 градуса, но мы помним, что угол BAC равен 60 градусам. Таким образом, угол наклона прямой MA в плоскости ABC равен $60 - 56.31 \approx 3.69$ градуса.

Ответ: примерно 3.69 градуса.