Question

У треугольников ABC и ADE – общая вписанная окружность с центром I (точка D лежит между точками A и B). Докажите, что угол BID равен углу CIE.​

Answer 1

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис.

BI, CI- биссектрисы в △ABC  

DI, EI - биссектрисы в△ADE

△ABC:

A/2 +B/2 +C/2 =90

BIC +B/2 +C/2 =180

BIC =90 +A/2 (задача об угле между биссектрисами)

Аналогично DIE =90 +A/2 (△ADE)

BIC=DIE => BID=CIE (из равных углов вычитаем BIE)

Answer 2

Для доказательства равенства углов ∠BID и ∠CIE воспользуемся свойствами вписанных углов, которые связаны с центром окружности I.

Сначала заметим, что общий центр окружности I является точкой пересечения всех радиусов этой окружности. Таким образом, радиус от центра I до точки D и радиус от центра I до точки E равны, так как они равноудалены от центра I.

Далее, из свойств вписанных углов следует, что угол, опирающийся на дугу DE (то есть ∠DIE), вдвое больше угла, опирающегося на той же дуге, но вне окружности. То есть:

∠DIE = 2∠DAE

Аналогично, угол ∠DIB, опирающийся на дугу DB, вдвое больше угла, опирающегося на той же дуге, но вне окружности:

∠DIB = 2∠DAB

Теперь, учитывая, что треугольники ABC и ADE делят одну и ту же дугу DE и одну и ту же дугу DB, можно записать следующее:

∠DIE - ∠DIB = 2∠DAE - 2∠DAB

∠CIE - ∠BID = 2∠CAE - 2∠CAB

Так как точки C, A и B лежат на одной окружности, то ∠CAE = ∠CAB, и мы можем дальше упростить:

∠CIE - ∠BID = 2∠CAE - 2∠CAB = 2(∠CAE - ∠CAB)

Таким образом, мы видим, что разница между углами ∠CIE и ∠BID в два раза больше разницы между углами ∠CAE и ∠CAB. Однако, как мы установили ранее, угол ∠DIE также вдвое больше ∠DAE, и угол ∠DIB вдвое больше ∠DAB. Это означает, что разница между углами ∠DIE и ∠DIB также в два раза больше разницы между углами ∠DAE и ∠DAB.

Из этого следует, что:

2(∠CAE - ∠CAB) = 2(∠DAE - ∠DAB)

После упрощения:

∠CIE - ∠BID = ∠DIE - ∠DIB

Так как ∠DIE и ∠DIB в два раза больше ∠CAE и ∠CAB соответственно, их разница также будет в два раза больше разницы между ∠CAE и ∠CAB. То есть:

∠CIE - ∠BID = 2(∠CAE - ∠CAB)

Однако ∠CAE и ∠CAB равны, так как они опираются на одну и ту же дугу на окружности, поэтому:

∠CIE - ∠BID = 2(0) = 0

Таким образом, у нас есть, что ∠CIE - ∠BID = 0, что означает, что ∠CIE равен ∠BID. Доказательство завершено.