Question

Ребята срочно помогите пожалуйста решить задачу Даны точки A(1;5;8) , B(5;2;9), C(7;4;7) и D(x;3;0). При каком значении x прямая AB перпендикулярна плоскости BCD?

Answer 1

Даны точки A(1;5;8) , B(5;2;9), C(7;4;7) и D(x;3;0).

Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

Если прямая AB перпендикулярна плоскости BCD, то вектор АВ перпендикулярен вектору ВД.

Находим вектор АВ: (4; -3; 1), вектор ВД: ((х - 5); 1; -9).

Скалярное произведение их равно  4х - 20 - 3 - 9 и должно быть равно 0.

4х = 32, откуда х = 32/4 = 8.

Ответ: х = 8.

Answer 2

Для того чтобы прямая AB была перпендикулярна плоскости BCD, их скалярное произведение должно быть равно нулю. Скалярное произведение векторов равно нулю, когда они перпендикулярны друг другу.

Сначала найдем векторы AB и вектор нормали плоскости BCD. Затем установим условие перпендикулярности, то есть сделаем их скалярное произведение равным нулю.

Вектор AB можно найти, вычитая координаты точки A из координат точки B:

AB = B - A = (5 - 1, 2 - 5, 9 - 8) = (4, -3, 1)

Теперь найдем вектор нормали к плоскости BCD. Для этого найдем два вектора в плоскости BCD и возьмем их векторное произведение.

Вектор BD можно найти, вычитая координаты точки B из координат точки D:

BD = D - B = (x - 5, 3 - 2, 0 - 9) = (x - 5, 1, -9)

Вектор CD можно найти, вычитая координаты точки C из координат точки D:

CD = D - C = (x - 7, 3 - 4, 0 - 7) = (x - 7, -1, -7)

Теперь найдем векторное произведение векторов BD и CD:

BD x CD = ((1*(-7) - (-9)(-1)), ((x-5)(-7) - (-9)(x-7)), ((x-5)(-1) - 1*(x-7)))

BD x CD = (-7 - 9, (-7x + 35 + 9x - 63), (-x + 5 - x + 7))

BD x CD = (-16, (-7x - 28), (-2x + 12))

Теперь установим условие перпендикулярности вектора AB и вектора нормали к плоскости BCD:

AB * (BD x CD) = 0

(4, -3, 1) * (-16, (-7x - 28), (-2x + 12)) = 0

Теперь вычислим скалярное произведение:

4 * (-16) + (-3) * (-7x - 28) + 1 * (-2x + 12) = 0

-64 + 21x + 84 - 2x + 12 = 0

19x + 32 = 0

19x = -32

x = -32 / 19

Таким образом, значение x, при котором прямая AB перпендикулярна плоскости BCD, равно x = -32/19.