Question

Докажите, что медиана треугольника меньше половины его периметра. Если можно, с картинкой..

Answer 1

После деления медианной BM треугольника АВС образовались два треугольника: АВМ и СВМ,
У треугольника каждая сторона всегда меньше, чем сумма двух остальных.
Нас интересует неравенство с ВМ в левой части.
Следовательно, ВМ<АМ+АВ,
ВМ<СВ+СМ.
Сложим эти неравенства:
2ВМ<АВ+ВС+АМ+СМ
АМ и СМ в сумме дают сторону АС.
Итого:
2ВМ<Р
ВМ<P/2
Доказано.

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте представим треугольник ABC и его медиану AD. После этого мы введем некоторые обозначения и воспользуемся неравенством треугольника.

1. Пусть a, b и c - длины сторон треугольника ABC (где a - длина стороны BC, b - длина стороны AC и c - длина стороны AB).

2. Пусть P - периметр треугольника ABC, то есть P = a + b + c.

3. Медиана треугольника AD делит сторону BC пополам, поэтому BD = CD = a/2.

Теперь мы можем воспользоваться неравенством треугольника для треугольника ABD и треугольника ADC:

Для треугольника ABD: AB + BD > AD c + a/2 > AD

Для треугольника ADC: AC + CD > AD b + a/2 > AD

Теперь сложим оба неравенства:

(c + a/2) + (b + a/2) > 2 * AD

(c + b + a) > 2 * AD

Теперь мы знаем, что c + b + a равно периметру треугольника (P). Поэтому:

P > 2 * AD

Теперь мы видим, что периметр треугольника P больше чем удвоенная длина медианы 2 * AD.

Для того чтобы доказать, что медиана меньше половины периметра, давайте поделим обе стороны неравенства на 2:

P/2 > AD

Теперь мы видим, что длина медианы AD меньше половины периметра P/2. Таким образом, медиана треугольника меньше половины его периметра, и это утверждение доказано.

Картину для этого доказательства предоставить сложнее, но вы можете нарисовать треугольник и его медиану, и использовать эти обозначения и неравенства для объяснения доказательства.