Question

КТО-НИБУДЬ!!!!!ПРОШУ!!!!!ПОЖАЛУЙСТА!!!! ТОЛЬКО ПУНКТ Б!!!!! Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с основаниями BC и AD перпендикулярны. Окружность с диаметром AD пересекает боковую сторону CD в точке M, а окружность с диаметром CD пересекает основание AD в точке N. Отрезки AM и CN пересекаются в точке P. а) Докажите, что в четырёхугольник ABCP можно вписать окружность. б) Найдите радиус этой окружности, если BC=7, AD=23. ТОЛЬКО Б

Answer 1

РЕШЕНИЕ:

А) • Если в равнобедренной трапеции диагонали взаимно перпендикулярны, то высота данной трапеции равна полусумме оснований =>
СN = ( BC + AD ) / 2 = ( 7 + 23 ) / 2 = 30/2 = 15
• ND = ( 23 - 7 ) / 2 = 16 / 2 = 8
AN = AD - ND = 23 - 8 = 15
• Рассмотрим тр. СND (угол CND = 90°):
По теореме Пифагора:
CD^2 = CN^2 + ND^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289
CD = AB = 17
• Рассмотрим тр. АСD:
S acd = ( 1/2 ) • CN • AD
S acd = ( 1/2 ) • AM • CD =>
CN • AD = AM • CD
AM = CN • AD / CD = 15 • 23 / 17 = 345 / 17
• Рассмотрим тр. АСN:
По теореме Пифагора:
АС^2 = СN^2 + AN^2 = 15^2 + 15^2 = 225 + 225 = 450
AC = 15V2 ( V - знак квадратного корня )
• Рассмотрим тр. АСМ:
По теореме Пифагора:
АС^2 = АМ^2 - СМ^2 = ( 15V2 )^2 - ( 345/17 )^2 = 450 - ( 345/ 17 )^2 = 11 025/289
AC = 105/17
• тр. СND подобен тр. СРМ
угол NDC = угол СРМ
sin NDC = CN/CD
sin CPM = CM/CP =>
CN/CD = CM/CP =>
CP = CD • CM / CN = 17 • 105 / 17 • 15 = 105/15 = 7
NP = CN - CP = 15 - 7 = 8
• Рассмотрим тр. АРN:
По теореме Пифагора:
АР^2 = АN^2 + NP^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289
AP = 17
• Если в четырёхугольнике сумма противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность:
АВ + СР = ВС + АР
17 + 7 = 7 + 17
24 = 24
Значит, в четырёхугольник АВСР можно вписать окружность, что и требовалось доказать.

Б) • Рассмотрим тр. ВСР:
По теореме Пифагора:
ВР^2 = ВС^2 + СР^2 = 7^2 + 7^2 = 49 + 49 = 49 • 2
ВР = 7V2
• Рассмотрим четырёхугольник АВСР:
Если в четырёхугольнике диагонали взаимно перпендикулярны, то её площадь равна половине произведения его диагоналей =>
S abcp = АС • ВР / 2 = 15V2 • 7V2 / 2 = 15 • 7 = 105
• Площадь любого n - угольника рассчитывается по формуле:
S = p • r
где р - полупериметр, r - радиус вписанной окружности

$s = p \times r \\ 105 = 24 \times r \\ r = \frac{105}{24} = \frac{35}{8}$


ОТВЕТ: б) 35/8

Answer 2

..............................................

Answer 3

Давайте начнем с части "б" задачи, где нам нужно найти радиус вписанной окружности в четырёхугольник ABCP. Мы уже знаем, что BC = 7 и AD = 23.

Чтобы найти радиус вписанной окружности в четырёхугольник ABCP, мы можем использовать следующую формулу:

\[r = \frac{S_{ABCP}}{p_{ABCP}},\]

где \(r\) - радиус вписанной окружности, \(S_{ABCP}\) - площадь четырёхугольника ABCP, \(p_{ABCP}\) - полупериметр четырёхугольника ABCP.

Сначала давайте найдем площадь четырёхугольника ABCP. Мы видим, что ABCP - это равнобедренная трапеция, и так как трапеция ABCD имеет диагонали, перпендикулярные друг другу, то ABCP также является прямоугольной трапецией.

Площадь прямоугольной трапеции можно найти по формуле:

\[S_{ABCP} = \frac{1}{2} \cdot (BC + AD) \cdot h,\]

где \(BC\) и \(AD\) - основания трапеции, а \(h\) - высота трапеции. В данном случае, \(BC = 7\) и \(AD = 23\).

Теперь нам нужно найти высоту \(h\). Для этого обратимся к диагоналям трапеции. Диагонали AD и CD пересекаются в точке N, и мы можем заметить, что точка N является серединой диагонали AD.

Таким образом, \(AN = \frac{AD}{2} = \frac{23}{2}\). Поскольку ABCP - прямоугольная трапеция, то высота \(h\) является расстоянием от точки P до основания BC, и она равна половине длины диагонали AN. Таким образом, \(h = \frac{AN}{2} = \frac{23}{4}\).

Теперь мы можем найти площадь четырёхугольника ABCP:

\[S_{ABCP} = \frac{1}{2} \cdot (BC + AD) \cdot h = \frac{1}{2} \cdot (7 + 23) \cdot \frac{23}{4} = \frac{30 \cdot 23}{4} = \frac{690}{4} = 172.5.\]

Теперь давайте найдем полупериметр \(p_{ABCP}\). В четырёхугольнике ABCP у нас есть две стороны равной длины: AB и CP, так как это боковые стороны равнобедренной трапеции. Осталось найти длины AB и CP.

Чтобы найти длину AB, давайте рассмотрим равнобедренную трапецию ABCD. Так как трапеция ABCD равнобедренная, то диагонали CD и AD равны между собой. Мы уже знаем, что AD = 23, и поскольку диагонали пересекаются в точке M, то AM также равно 23.

Теперь рассмотрим треугольник AMP, где AM - это гипотенуза, а MP - это половина основания BC. Мы можем использовать теорему Пифагора:

\[AB^2 = AM^2 - MP^2.\]

\[AB^2 = 23^2 - \left(\frac{BC}{2}\right)^2 = 23^2 - \left(\frac{7}{2}\right)^2 = 529 - \frac{49}{4} = \frac{2123}{4}.\]

\[AB = \sqrt{\frac{2123}{4}} = \frac{\sqrt{2123}}{2}.\]

Теперь мы можем найти полупериметр \(p_{ABCP}\):

\[p_{ABCP} = AB + BC + CP = \frac{\sqrt{2123}}{2} + 7 + \frac{\sqrt{2123}}{2} = \sqrt{2123} + 7.\]

Теперь, когда у нас есть площадь и полупериметр четырёхугольника ABCP, мы можем найти радиус вписанной окружности:

\[r = \frac{S_{ABCP}}{p_{ABCP}} = \frac{172.5}{\sqrt{2123} + 7}.\]

Это значение радиуса можно приближенно вычислить, используя калькулятор.

Теперь у нас есть ответ на часть "б" задачи, и мы можем перейти к части "а", где нужно доказать, что в четырёхугольник ABCP можно вписать окружность.

Чтобы доказать, что в четырёхугольник ABCP можно вписать окружность, нам нужно показать, что точки A, B, C и P лежат на одной окружности. Для этого нам потребуется доказать, что угол APC равен углу ABC.

Мы уже знаем, что ABCP - это прямоугольная трапеция, и угол ABC прямой. Теперь мы можем использовать факт, что угол в полуокружности равен 90 градусам, и так как AD и CD - диаметры окружно