Question

В треугольнике ABC на стороне AC отмечена точка K известно что АК:КС=1:3 и что Точка К равноудалена от середины сторон AB и BC Найдите величину угла C A B

Answer 1

пусть середины сторон: M1 и M2

M3 - середина AC

тогда в четырехугольнике AM1M2M3: AM3 = M1M2, и они параллельны, т.к. M2M3 - средняя линия => AM1M2M3 - параллелограмм

проведем высоту KH в треугольнике KM1M2 она перпендикулярна M1M2 и AC

тогда в четырехугольнике AM1HK: AK = M1H и они параллельны => AM1HK - параллелограмм, но т.к. два угла в нем прямые, то это прямоугольник

Значит, угол CAB = 90°

Ответ: 90°

Answer 2

Давайте рассмотрим ситуацию и найдем угол CAB. По условию, точка K находится на стороне AC так, что AK:KC = 1:3. Это означает, что точка K делит сторону AC на 1/4 и 3/4 ее длины.

Пусть M - середина стороны AB, а N - середина стороны BC. Так как точка K равноудалена от середины сторон AB и BC, то KN - это биссектриса угла BKC.

Теперь, так как AK:KC = 1:3, то точка K делит отрезок KN в соотношении 1:3. Обозначим длину KN как x. Тогда KM = 3x и MN = x.

Так как KN - это биссектриса угла BKC, то она также делит угол BKM на два равных угла, а угол MKN равен углу C. Таким образом, мы можем записать:

3x / x = BM / KN, 3 = BM / x.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. В этом треугольнике точка M - середина стороны AB, а точка N - середина стороны BC. Так как MN параллельна стороне AC и делит ее пополам, то MN также является медианой треугольника ABC. Медиана делит треугольник на два равных треугольника. Таким образом, AMN равнобедренный треугольник, и угол MAN равен углу MNA.

Теперь у нас есть:

BM / x = 3, BM = 3x.

Из равнобедренности треугольника AMN мы знаем, что угол MAN равен углу MNA. Так как BM = 3x, то угол BMA равен углу AMB, и каждый из них равен углу MAN. Поэтому угол BMA равен углу MAN, который равен углу C.

Теперь мы знаем, что угол BMA равен углу C, и у нас есть уравнение:

BM = 3x.

Так как BM - это длина половины стороны AB, то угол BMA - это угол CAB.

Итак, угол CAB равен углу BMA. Мы уже знаем, что BM = 3x, и теперь мы можем найти значение угла CAB:

Угол CAB = угол BMA = угол MAN = угол MNA.

Таким образом, угол CAB равен углу MNA.