Question

Дан правильный треугольник со стороной а=2, точка Р находится на расстоянии 5 от вершин треугольника. Найти расстояние от точки Р до плоскости треугольника.

Answer 1

Решение приведено во вложении

Answer 2

Высота равностороннего треугольника со стороной а = 2, разбивает его на два равных прямоугольных треугольника с гипотенузой а = 2 и острыми углами 30° и 60°. 
По определению синус острого угла прямоугольного треугольника = отношению ПРОТИВОЛЕЖАЩЕГО катета (h) к гипотенузе а = 2

sinα =  $\frac{h}{a}$

h = a * sinα = 2 *  $\frac{ \sqrt{3} }{2}$ = √3 - высота равностороннего треугольника

Кратчайшее расстояние от точки Р до плоскости треугольника - перпендикуляр к плоскости треугольника, основание которого делит высоту треугольника в отношении 2 : 3, считая от вершины h : 3 * 2 = 2h : 3 = 2√3/3

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой с = 5 и катетом b = 2√3/3, по т. Пифагора

5² = (2√3/3)² + х²

х² = 23 $\frac{2}{3}$

х = $\sqrt{23 \frac{2}{3} }$

Answer 3

Чтобы найти расстояние от точки Р до плоскости правильного треугольника, можно воспользоваться следующей формулой:

d = |Ax + By + C| / √(A^2 + B^2 + C^2),

где (A, B, C) - коэффициенты нормали к плоскости треугольника, а (x, y, z) - координаты точки Р.

Для правильного треугольника с стороной a=2, вы можете предположить, что вершина треугольника находится в начале координат (0,0,0), и его плоскость параллельна плоскости XY. Таким образом, нормаль к этой плоскости будет иметь координаты (0, 0, 1).

Теперь у нас есть координаты точки P, и она находится на расстоянии 5 от вершин треугольника. Допустим, координаты точки P равны (x, y, z). Тогда у нас есть:

A = 0, B = 0, C = 1, x = x, y = y, z = z.

Подставляя это в формулу расстояния, получаем:

d = |0x + 0y + 1*z| / √(0^2 + 0^2 + 1^2) = |z| / 1 = |z|.

Теперь остается найти координату z точки P. Так как точка P находится на расстоянии 5 от вершин треугольника, и этот треугольник находится в плоскости Z=0, то z должна быть равна -5.

Теперь мы можем найти расстояние от точки P до плоскости треугольника:

d = |z| = |-5| = 5.

Таким образом, расстояние от точки P до плоскости правильного треугольника со стороной a=2 равно 5 единицам длины.