Question

В треугольниках ABC и A1B1C1 AB:A1B1=BC:B1C1.SABC :SA1B1C1=9:16.AC+A1C1=14 см.Найдите эти стороны.

Answer 1

Площади подобных треугольников относятся как квадраты коэффициента подобия, т.е. коэффициент подобия к = 3/4 = 0,75

Если AB:A1B1=BC:B1C1, то и AB:A1B1=BC:B1C1= АС:А1С1= к = 0,75.

АС = 0,75 А1С1

0,75 А1С1+A1C1=14

1,75 A1C1 = 14

A1C1 = 14:1,75 = 8

АС = 0,75·8 = 6

Ответ: АС =6, А1С1 = 8

 

 

Answer 2

Предположим, что AB = x, BC = y и AC = z. Тогда мы можем записать отношение сторон треугольников ABC и A1B1C1:

AB:A1B1 = BC:B1C1

x/y = y/z

Теперь мы можем выразить отношение сторон треугольников через переменные x, y и z:

AB:A1B1 = x/y BC:B1C1 = y/z

Так как отношение площадей треугольников ABC и A1B1C1 равно 9:16, то мы можем записать:

SABC/SA1B1C1 = 9/16

SABC = (1/2)*AB*BC*sin(∠B) = (1/2)*x*y*sin(∠B)

SA1B1C1 = (1/2)*A1B1*B1C1*sin(∠B1) = (1/2)*y*z*sin(∠B1)

Теперь мы можем записать уравнение отношения площадей треугольников через переменные x, y и z:

(1/2)*x*y*sin(∠B) / ((1/2)*y*z*sin(∠B1)) = 9/16

x/z*sin(∠B) / sin(∠B1) = 9/16

Теперь у нас есть система уравнений:

1) x/y = y/z 2) x/z*sin(∠B) / sin(∠B1) = 9/16

Из уравнения (1) мы можем выразить y через x и z:

y = x*z/y

Теперь мы можем подставить это выражение в уравнение (2):

x/z*sin(∠B) / sin(∠B1) = 9/16

sin(∠B) / sin(∠B1) = 9/16

Теперь мы можем использовать тригонометрическую теорему синусов для нахождения отношения сторон треугольников ABC и A1B1C1:

sin(∠B) = (AC/z)*sin(∠B1)

Теперь мы можем выразить sin(∠B1) через sin(∠B):

sin(∠B1) = (16/9)*(AC/z)*sin(∠B)

Теперь мы можем подставить это выражение в уравнение sin(∠B) / sin(∠B1) = 9/16:

sin(∠B) / ((16/9)*(AC/z)*sin(∠B)) = 9/16

sin(∠B)^2 = (9/16)*(16/9)*(AC/z)*sin(∠B)

sin(∠B)^2 = AC/z*sin(∠B)

Теперь мы можем выразить sin(∠B) через AC и z:

sin(∠B) = sqrt((AC/z)*sin(∠B))

Теперь мы можем использовать это выражение для нахождения сторон треугольника ABC:

x/z = 9/16

x = (9/16)*z

Теперь мы можем использовать это выражение для нахождения значений сторон треугольника:

AB = x BC = y AC = z

AB = (9/16)*z BC = z AC = z

Теперь мы можем использовать уравнение AC + A1C1 = 14 см для нахождения значений сторон:

AC + A1C1 = 14 z + A1C1 = 14 A1C1 = 14 - z

Теперь у нас есть значения сторон треугольника ABC:

AB = (9/16)*z BC = z AC = z

И значение стороны A1C1:

A1C1 = 14 - z

Таким образом, мы нашли значения сторон треугольников ABC и A1B1C1.