Question

В треугольнике ABC проведены высоты BH и CN. Докажите, что треуголь- ник ANH подобен треугольнику ABC. Исправьте «опечатку» в задаче

Answer 1

Решение .

Дан ΔАВС ,   ВН ⊥ АС  ,  СN ⊥ AB  . Доказать, что  ΔАNH ~ ΔАВС .

Рассмотрим два прямоугольных треугольника : ΔАВН  и  ΔАСN .

У них есть общий угол , ∠А , и два прямых угла ∠АНВ=∠ANC=90° .

Поэтому эти треугольники подобны :  ΔАВН ~ ΔАСN  ( по двум углам) . Ну и , конечно, у них равны и третьи углы : ∠ABH=∠ACN .

Запишем тогда пропорциональные стороны этих треугольников ( они лежат против равных углов) :

AH : AB = AN : AC    

АС и АВ - стороны ΔАВС ,  а  AN и AH - стороны  ΔАNH .

Угол  ∠А - общий для этих треугольников  .

Получили, что в треугольниках ΔАВС  и  ΔАNH  имеются две пары пропорциональных сторон и общий угол между этими сторонами .

Значит эти треугольники подобны по 2 признаку подобия треугольников : ΔANH ~ ΔABC .

Замечание . Так как  из  ΔАВH следует, что  AH/AB = cosA  , а из  ΔАNС следует, что  AN/AC = cosA , то коэффициент пропорциональности равен  k = cosA  .

 Если рассматривать не остроугольный треугольник, а тупоугольный, то доказательство факта подобия треугольников аналогично , хотя основания высот треугольника падают на продолжения сторон треугольника .

Answer 2

Возможно, в задаче допущена опечатка. Вероятно, вы хотели сказать, что треугольник ANH подобен треугольнику ABC. Давайте докажем это утверждение.

Пусть в треугольнике ABC проведены высоты BH и CN, пересекающиеся в точке H (см. рисунок ниже):

cssCopy code
A
|\
| \
|  \
|   \
|    \
|     \
|      \
B-------C

Теперь рассмотрим треугольники ANH и ABC. Мы видим, что у них есть общий угол при вершине A (угол BAH), так как это вершина обоих треугольников.

Кроме того, угол ANH является прямым углом, так как H - это основание высоты в треугольнике ABC. А угол ACB также является прямым углом, так как это угол в исходном треугольнике ABC.

Теперь нам нужно убедиться, что угол A в треугольнике ANH равен углу ACB. Это можно сделать, заметив, что угол A в треугольнике ANH является вертикально противоположным углу CAB в треугольнике ABC. Вертикально противоположные углы равны.

Итак, у нас есть:

1. Угол ANH равен углу ACB.
2. Угол BAH равен углу BAC.
3. Угол A общий для обоих треугольников.

С учетом этих фактов, по правилу подобия треугольников (Угол-Угол-Угол) мы можем сделать вывод, что треугольник ANH подобен треугольнику ABC.