Question

Точка N - середина стороны BC в четырехугольнике ABCD, a M точка пересечения диагоналей АС и BD. Известно что МС:АМ= 2 , ВМ:МD = 7, площадь треугольника АND равна 11. Найдите площадь четырехугольника ABCD.​

Answer 1

Думаю что должно быть правильно, если что, то площадь AND это среднее арифметические площадей BAD и ADC потому что BH и BH’ высоты данных треугольников.

Answer 2

Давайте обозначим длины отрезков следующим образом:

Пусть MC = 2x (так как МС:АМ = 2), а MD = 7y (так как ВМ:МD = 7).

Теперь мы можем рассмотреть треугольник AND, площадь которого равна 11. Мы знаем, что площадь треугольника можно вычислить, используя следующую формулу:

Площадь треугольника = (1/2) * основание * высота

В данном случае, основание это AD, а высота проведена из точки M на сторону AD. Так как MD = 7y, то AM = AD - MD = 2x - 7y. Таким образом, высота треугольника AND равна 2x - 7y.

Теперь мы можем записать формулу для площади треугольника AND:

11 = (1/2) * AD * (2x - 7y)

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

22 = AD * (2x - 7y)

Теперь у нас есть одно уравнение, но нам нужно еще одно уравнение, чтобы решить систему. Для этого обратим внимание на то, что точка M является серединой стороны BC, поэтому BM = MC. Так как MC = 2x, то BM = 2x.

Теперь у нас есть второе уравнение:

BM = 2x

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Сначала выразим AD из первого уравнения:

AD = 22 / (2x - 7y)

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

2x = 22 / (2x - 7y)

Умножим обе стороны на (2x - 7y), чтобы избавиться от дроби:

2x(2x - 7y) = 22

Раскроем скобки:

4x^2 - 14xy = 22

Теперь у нас есть система двух уравнений:

1. 4x^2 - 14xy = 22 2. BM = 2x

Теперь мы можем решить эту систему уравнений и найти значения x и y. После того как мы найдем их, мы сможем найти AD и BC, а затем и площадь четырехугольника ABCD.