Question

Разложить вектор с ={9;4} по векторам а={1;2} и b={2;-3}

Answer 1

c=ka+lb;
{9;4}={1;2}k+{2;-3}l;
{9;4}={k;2k}+{2l;-3l};
{9;4}={k+2l;2k-3l};

$\left \{ {{k+2l=9} \atop {2k-3l=4}} \right;\\ k=9-2l;\\ 2(9-2l)-3l=4;\\ 18-4l-3l=4;\\ 18-7l=4;\\ 7l=18-4;\\ 7l=14;\\ l=14:7;\\ l=2;\\ k=9-2*2=5;\\ c=5a+2b$

 

Answer 2

Чтобы разложить вектор с = {9; 4} по векторам а = {1; 2} и b = {2; -3}, мы можем использовать метод проекции. Проекция вектора с на вектор а будет равна произведению скалярного произведения вектора с на вектор а, деленного на квадрат длины вектора а. Аналогично, проекция вектора с на вектор b будет равна произведению скалярного произведения вектора с на вектор b, деленного на квадрат длины вектора b.

Давайте вычислим проекции:

Проекция вектора с на вектор а: проекция_а = (скалярное_произведение(с, а) / скалярное_произведение(а, а)) * а

Проекция вектора с на вектор b: проекция_b = (скалярное_произведение(с, b) / скалярное_произведение(b, b)) * b

Давайте вычислим значения:

скалярное_произведение(с, а) = 9 * 1 + 4 * 2 = 9 + 8 = 17 скалярное_произведение(а, а) = 1 * 1 + 2 * 2 = 1 + 4 = 5 скалярное_произведение(с, b) = 9 * 2 + 4 * (-3) = 18 - 12 = 6 скалярное_произведение(b, b) = 2 * 2 + (-3) * (-3) = 4 + 9 = 13

проекция_а = (17 / 5) * {1; 2} = {17/5; 34/5} проекция_b = (6 / 13) * {2; -3} = {12/13; -18/13}

Теперь давайте найдем ортогональные компоненты вектора с, вычитая проекции из самого вектора:

ортогональная_компонента_а = с - проекция_а = {9; 4} - {17/5; 34/5} = {45/5 - 17/5; 20/5 - 34/5} = {28/5; -14/5} ортогональная_компонента_b = с - проекция_b = {9; 4} - {12/13; -18/13} = {117/13 - 24/13; 52/13 + 72/13} = {93/13; 124/13}

Таким образом, вектор с = {9; 4} может быть разложен на сумму векторов а = {1; 2} и b = {2; -3} следующим образом: с = проекция_а + проекция_b + ортогональная_компонента_а + ортогональная_компонента_b с = {17/5; 34/5} + {12/13; -18/13} + {28/5; -14/5} + {93/13; 124/13}

Можно проверить, что сумма всех этих векторов дает исходный вектор с.