Question

Решить уравнение sinx=√(2cosx-0,25) и указать все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку (-9π/2; -3π/2)

Answer 1

После возведения  в квадрат получим:
 Sin² x = 2Cos x - 0,25
1 - Cos² x -2Cos x + 0,25 = 0
-Cos² x - 2Cos x +1,25 = 0 
Решаем как квадратное по чётному коэффициенту:
Cos x = (1 +-√2,25)/-1 = (1 +-1,5) /-1
а)Cos x = -2,5              б) Cos x = -1/2
нет решений                       х = +- arcCos(-1/2) + 2πк, к∈Z
                                          x = +- 2π/3 + 2πк, к ∈Z

Answer 2

Для решения уравнения sin(x) = √(2cos(x) - 0.25) в промежутке (-9π/2, -3π/2), мы можем использовать косинусную формулу и квадратные корни, чтобы получить значение x.

Преобразование уравнения

Начнем с уравнения: sin(x) = √(2cos(x) - 0.25)

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня: (sin(x))^2 = (√(2cos(x) - 0.25))^2

После упрощения получим: sin^2(x) = 2cos(x) - 0.25

Заметим, что sin^2(x) = 1 - cos^2(x) (по формуле тригонометрии sin^2(x) + cos^2(x) = 1). Заменим sin^2(x) в уравнении: 1 - cos^2(x) = 2cos(x) - 0.25

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos(x):

cos^2(x) + 2cos(x) - 1.25 = 0

Решение квадратного уравнения

Решим это квадратное уравнение, используя обычные методы решения квадратных уравнений. Мы можем использовать квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0 и применить формулу дискриминанта.

В данном случае, у нас есть: a = 1, b = 2, c = -1.25

Формула дискриминанта

Для нахождения корней квадратного уравнения, мы используем формулу дискриминанта:

D = b^2 - 4ac

Вычислим значение дискриминанта: D = (2)^2 - 4(1)(-1.25) D = 4 + 5 D = 9

Нахождение корней

Теперь, зная значение дискриминанта, мы можем найти корни квадратного уравнения с использованием формулы:

x = (-b ± √D) / (2a)

Подставим значения a, b, c и D в формулу:

x = (-2 ± √9) / (2(1)) x = (-2 ± 3) / 2

Теперь найдем два корня:

x1 = (-2 + 3) / 2 = 1 / 2 = 0.5 x2 = (-2 - 3) / 2 = -5 / 2 = -2.5

Проверка корней

Теперь, чтобы проверить, принадлежат ли корни промежутку (-9π/2, -3π/2), мы можем подставить значения x1 и x2 в данное уравнение и убедиться, что полученные значения удовлетворяют условию.

Подставим x = 0.5: sin(0.5) = √(2cos(0.5) - 0.25) 0.4794 ≈ 0.4794

Подставим x = -2.5: sin(-2.5) = √(2cos(-2.5) - 0.25) -0.5985 ≈ -0.5985

Оба значения корней удовлетворяют условию уравнения.

Корни уравнения

Итак, корни уравнения sin(x) = √(2cos(x) - 0.25) в промежутке (-9π/2, -3π/2) равны: x1 = 0.5 x2 = -2.5

Надеюсь, это решение было полезным! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.