Question

На стороне AC треугольника ABC отмечена точка D , так что AD=AB На стороне AB отмечена точка F так ,что середина отрезка CF лежит на BD Докажите что BF=CD

Answer 1

Пусть О - точка пересечения BD и CF. На АС возьмем точку К так, что FK||BD. Тогда, т.к. AB=AD, то ∠ABD=∠ADB, т.е. трапеция DKFB - равнобедренная, т.е. BF=DK. Но OD - средняя линия треугольника KFC (она параллельна FK и проходит через середину FC). Значит, CD=DK=BF. Что и требовалось.

Answer 2

Для доказательства равенства BF = CD, давайте рассмотрим треугольники BFD и CFD.

У нас есть следующие данные:

1. AD = AB (дано).
2. Точка F - середина отрезка CF.
3. Точка D лежит на отрезке AC.
4. Точка F лежит на отрезке BC.

Из этого мы можем сделать следующие выводы:

1. Треугольник ADF - равнобедренный, так как AD = AB, и угол DAF равен углу BAF (по построению).

2. Треугольник CFD - также равнобедренный, так как FD = FC, и угол CFD равен углу CDF (по построению).

3. Угол DAF равен углу CDF, так как они оба равны углу BAF (по равенству углов в равнобедренных треугольниках).

Из этих равенств мы видим, что треугольники ADF и CDF подобны, поскольку у них равные углы и одинаковые соотношения сторон. Следовательно:

BD / FD = AB / CF

Но мы знаем, что F - середина отрезка CF, поэтому CF = 2 * FD. Таким образом:

BD / FD = AB / (2 * FD)

Теперь, умножим обе стороны на FD:

BD = (AB / 2) * FD

Так как мы знаем, что BD = BF + FD (по построению), мы можем записать:

BF + FD = (AB / 2) * FD

Теперь выразим FD:

FD = (2 * BF) / (AB - 2 * BF)

Теперь мы можем использовать факт, что FD = CF / 2 (так как F - середина отрезка CF), чтобы получить:

CF / 2 = (2 * BF) / (AB - 2 * BF)

Теперь умножим обе стороны на 2:

CF = (4 * BF) / (AB - 2 * BF)

Теперь, умножим обе стороны на (AB - 2 * BF):

CF * (AB - 2 * BF) = 4 * BF

Распишем левую сторону:

CF * AB - 2 * CF * BF = 4 * BF

Теперь, добавим 2 * CF * BF к обеим сторонам:

CF * AB = 6 * BF

И разделим обе стороны на CF:

AB = 6 * BF / CF

Так как F - середина отрезка CF, то CF = 2 * BF. Подставим это значение:

AB = 6 * BF / (2 * BF)

Упростим:

AB = 3

Теперь, используя то, что AD = AB, мы имеем:

AD = 3

Из этого следует, что CD = AC - AD = BC - AD = BF, так как AD = AB и F - середина отрезка BC. Таким образом, мы доказали, что BF = CD.