Question

Внешние углы двух правильных многоугольников отличаються на 30 градусов, а сумы их внутренних углов отличаються на 360 градусов. Найти количество сторон каждого многоугольника.

Answer 1

Сумма внутренних углов многоугольника    S = 180°(n - 2)
По условию
S₂ - S₁ = 180°(n₂ - 2) -180°(n₁ - 2) = 360°
180°n₂ - 180°n₁ =360°      ⇒      n₂ - n₁ = 2   ⇒    n₂ = n₁ + 2

Внешний угол правильного многоугольника   α = 360°/n
По условию     α₁ - α₂ = 30°

$\frac{360}{n_1} - \frac{360}{n_2} =30 \\ \\ \frac{12}{n_1} - \frac{12}{n_2} =1$
12n₂ - 12n₁ = n₁*n₂
12(n₁+2) - 12n₁  - n₁(n₁ + 2) = 0
12n₁ + 24 - 12n₁ - n₁² - 2n₁ = 0
24 - n₁² - 2n₁ = 0
n₁² + 2n₁ - 24 = 0
D = 4 + 4*24 = 100 = 10²
n₁ = (-2 + 10)/2 = 4
n₂ = n₁ + 2 = 6

Ответ: 4 стороны и 6 сторон

Answer 2

Давайте обозначим количество сторон первого многоугольника как "n", а количество сторон второго многоугольника как "m".

Внешние углы правильного многоугольника всегда равны 360 градусов, поэтому внешний угол первого многоугольника равен 360/n градусов, и внешний угол второго многоугольника равен 360/m градусов.

Согласно условию, разница между внешними углами двух многоугольников составляет 30 градусов:

360/n - 360/m = 30

Теперь давайте рассмотрим сумму внутренних углов правильного многоугольника. Внутренний угол правильного многоугольника равен (n-2) × 180 градусов, и сумма внутренних углов первого многоугольника равна n × (n-2) × 180 градусов. Аналогично, сумма внутренних углов второго многоугольника равна m × (m-2) × 180 градусов.

Согласно условию, разница между суммами внутренних углов двух многоугольников составляет 360 градусов:

n × (n-2) × 180 - m × (m-2) × 180 = 360

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. 360/n - 360/m = 30
2. n × (n-2) × 180 - m × (m-2) × 180 = 360

Мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения "n" и "m". Однако это довольно сложные уравнения, и решение их аналитически может потребовать некоторых математических вычислений или численных методов. Мы можем использовать компьютер или калькулятор для решения этой системы уравнений.

Результат будет представлять собой значения "n" и "m", которые будут являться количеством сторон первого и второго правильных многоугольников соответственно.