Question

Внешние углы двух правильных многоугольников отличаются на 30 градусов, а суммы внутренних углов этих многоугольников отличаются на 360 градусов. Найдите количество сторон каждого многоугольника

Answer 1

К1 - количество сторон (углов) в многоугольнике1, К2 - количество сторон (углов) в многоугольнике2, сумма внешних углов в любом многоугольнике=360, 360/К1-360/К2=30 или 12/К1-12/К2=1 или 12К2 - 12К1=К1*К2, сумма углов в многоугольнике=180*(К-2), сумма углов в многоугольнике1=180*(К1-2), сумма углов в многоугольнике2=180*(К2-2), сумма углов в многоугольнике2 - сумма углов в многоугольнике1 =360, 180*(К2-2) - 180*(К1-2)=360 или К2-2-К1+2=2, К2-К1=2, К2=2+К1, подставляем в первую формулу 12*(2+К1) - 12К1=К1*(2+К1), 24+12К1-12К1=2К1+К1 в квадрате, К1 в квадрате+2К1-24=0, К1=(-2+-корень(4+4*24))/2=(-2+-10)/2, К1=4 -количество сторон в многоугольнике1, К2=2+К1=2+4=6 - количество сторон в многоугольнике2

Answer 2

Давайте разберемся в данной задаче. Пусть первый многоугольник имеет n сторон, а второй многоугольник имеет m сторон.

Внешние углы двух правильных многоугольников отличаются на 30 градусов.

Для правильного многоугольника, каждый внешний угол равен 360 градусов / количество сторон. Таким образом, внешний угол первого многоугольника равен 360 градусов / n, а внешний угол второго многоугольника равен 360 градусов / m.

Согласно условию задачи, разница между внешними углами равна 30 градусов. Это означает, что:

360 градусов / n - 360 градусов / m = 30 градусов.

Мы можем упростить это уравнение, умножив все члены на n и m, чтобы избавиться от знаменателей:

360m - 360n = 30nm.

Суммы внутренних углов этих многоугольников отличаются на 360 градусов.

Для правильного многоугольника, сумма внутренних углов равна (количество сторон - 2) * 180 градусов. Таким образом, сумма внутренних углов первого многоугольника равна (n - 2) * 180 градусов, а сумма внутренних углов второго многоугольника равна (m - 2) * 180 градусов.

Согласно условию задачи, разница между суммами внутренних углов равна 360 градусов. Это означает, что:

(n - 2) * 180 градусов - (m - 2) * 180 градусов = 360 градусов.

Мы можем упростить это уравнение:

180n - 360 - 180m + 360 = 360.

180n - 180m = 360.

Найдите количество сторон каждого многоугольника.

У нас есть два уравнения:

360m - 360n = 30nm,

180n - 180m = 360.

Мы можем решить это систему уравнений, чтобы найти значения n и m.

Разделим первое уравнение на 30:

12m - 12n = nm.

Теперь выразим n из второго уравнения:

n = m - 2.

Подставим это значение n в первое уравнение:

12m - 12(m - 2) = m(m - 2).

Раскроем скобки:

12m - 12m + 24 = m^2 - 2m.

Упростим:

24 = m^2 - 2m.

Перенесем все в одну сторону:

m^2 - 2m - 24 = 0.

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение. Найдем значения m:

m = (-(-2) ± √((-2)^2 - 4 * 1 * (-24))) / (2 * 1).

Раскроем скобки и упростим:

m = (2 ± √(4 + 96)) / 2.

m = (2 ± √100) / 2.

m = (2 ± 10) / 2.

Таким образом, получаем два возможных значения для m:

m1 = (2 + 10) / 2 = 12 / 2 = 6.

m2 = (2 - 10) / 2 = -8 / 2 = -4.

Мы не можем иметь отрицательное количество сторон, поэтому отбросим m2 = -4.

Теперь найдем соответствующие значения n, используя уравнение n = m - 2:

n1 = 6 - 2 = 4.

Таким образом, первый многоугольник имеет 4 стороны, а второй многоугольник имеет 6 сторон.

Проверим наши ответы, подставив значения в исходные уравнения:

360 * 6 - 360 * 4 = 30 * 4 * 6,

180 * 4 - 180 * 6 = 360.

2160 - 1440 = 720,

720 - 1080 = 360.

Оба уравнения выполняются, поэтому наши ответы верны. Первый многоугольник имеет 4 стороны, а второй многоугольник имеет 6 сторон.