Question

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD сторона основания равна 10, а боковое ребро 13. Найдите: 1) расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания; 2) площадь боковой поверхности пирамиды; 3) площадь полной поверхности пирамиды; 4) угол между боковым ребром и плоскостью основания; 5) угол между боковой гранью и плоскостью основания.

Answer 1

В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD сторона основания равна a = 10 ед, а боковое ребро L = 13 ед.

 Находим:
1) расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания;
Это высота пирамиды H. Она равна:
Н = √(13² - (10√2/2)²) = √(169 - 50) = √119 ед.

2) площадь боковой поверхности пирамиды;
Находим аофему А = √(13² - (10/2)²) = √(169 - 25) = √144 = 12 ед.
Периметр основания Р = 4а = 4*10 = 40 ед.
Тогда площадь боковой поверхности равна:
Sбок = (1/2)РА = (1/2)40*12 = 240 кв.ед.

3) площадь полной поверхности пирамиды;
Площадь основания So = a² = 10² = 100 кв.ед.
Тогда площадь полной поверхности пирамиды равна:
S = 240 + 100 = 340 кв.ед.

4) угол между боковым ребром и плоскостью основания;
α = arc sin(H/L) = arc sin (√119/13) =  0,995685 радиан = 57,04854°.

5) угол между боковой гранью и плоскостью 
β = arc tg(H/(a/2)) = arc tg(√119/5) =  1,141021 радиан = 65,37568°.

Answer 2

Для решения задачи нам нужно использовать некоторые свойства четырёхугольных пирамид.

1. Расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания:

Используем формулу для вычисления высоты пирамиды, опущенной из вершины на основание:

$h = \frac{S_{\text{осн}} \times 3}{P_{\text{осн}}}$

Где $S_{\text{осн}}$ - площадь основания, $P_{\text{осн}}$ - периметр основания.

В данной задаче основание - четырёхугольник MABCD, площадь которого можно найти как $S_{\text{осн}} = 10 \times 10 = 100$ квадратных единиц. Периметр основания $P_{\text{осн}} = 4 \times 10 = 40$ единиц.

Подставляем значения в формулу:

$h = \frac{100 \times 3}{40} = \frac{300}{40} = 7.5$

Таким образом, расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания равно 7.5 единицам.

2. Площадь боковой поверхности пирамиды:

Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти, используя формулу:

$S_{\text{бок}} = \frac{P_{\text{осн}} \times l_{\text{бок}}}{2}$

Где $l_{\text{бок}}$ - длина бокового ребра. В данной задаче $l_{\text{бок}} = 13$ единиц.

Подставляем значения в формулу:

$S_{\text{бок}} = \frac{40 \times 13}{2} = 260 \text{ квадратных единиц}$

3. Площадь полной поверхности пирамиды:

Площадь полной поверхности пирамиды можно найти, добавив площадь основания к площади боковой поверхности:

$S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 100 + 260 = 360 \text{ квадратных единиц}$

4. Угол между боковым ребром и плоскостью основания:

Этот угол можно найти, используя тангенс угла наклона боковой грани:

$\tan(\theta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{h}{l_{\text{бок}}} = \frac{7.5}{13}$

Отсюда находим угол $\theta$:

$\theta = \arctan\left(\frac{7.5}{13}\right) \approx 30.96^\circ$

5. Угол между боковой гранью и плоскостью основания:

Этот угол равен углу между боковым ребром и высотой пирамиды. Используем тригонометрическую функцию синус:

$\sin(\theta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{h}{l_{\text{бок}}} = \frac{7.5}{13}$

Отсюда находим угол $\theta$:

$\theta = \arcsin\left(\frac{7.5}{13}\right) \approx 35.36^\circ$