Question

В прямогугольном треугольнике АВС с прямым углом С проведена биссектриса АК. Докажите, что расстояние от точки К до прямой АВ равно отрезку СК.

Answer 1

По свойству биссектрисы в треугольнике:
Каждая точка, лежащая на биссектрисе угла, равноудалена от сторон данного угла
Значит, расстояние от точки К до прямой АВ равно отрезку СК

Answer 2

Для доказательства этого утверждения рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с прямым углом в точке C и проведенной биссектрисой AK. Пусть K - точка пересечения биссектрисы AK и гипотенузы AB, а L - точка на гипотенузе AB, такая, что CK перпендикулярно AB.

Мы хотим доказать, что CK = KL.

Для начала рассмотрим треугольники AKC и CKL:

1. У них общая сторона CK.
2. Угол AKC и угол CKL оба равны, так как CK - биссектриса угла C.
3. Угол KAC и угол LCK оба равны 90 градусов, так как CK и KL перпендикулярны к AB.

Из этих фактов следует, что треугольники AKC и CKL подобны по двум углам (по углам AKC и CKL). Это означает, что отношение длины сторон этих треугольников равно:

AC / CK = CK / KL

Теперь давайте умножим обе стороны на CK:

AC = (CK)^2 / KL

Из этого уравнения видно, что длина отрезка AC равна квадрату длины отрезка CK, деленному на длину отрезка KL. Но так как треугольник ABC прямоугольный, то AC равно длине гипотенузы AB. Таким образом, мы можем записать:

AB = (CK)^2 / KL

Теперь, если мы умножим обе стороны на KL, получим:

AB * KL = (CK)^2

Теперь заметим, что левая сторона этого уравнения представляет собой площадь треугольника ABC (потому что AB - это гипотенуза, а KL - это высота, опущенная из вершины C), а правая сторона представляет собой квадрат длины отрезка CK.

Из этого уравнения видно, что площадь треугольника ABC равна квадрату длины отрезка CK.

Теперь, если мы рассмотрим треугольники AKC и CKL снова, то можем заметить, что они имеют общую площадь (потому что они подобны и имеют общую биссектрису), и поэтому площадь треугольника AKC также равна квадрату длины отрезка CK.

Итак, мы видим, что площадь треугольника ABC равна площади треугольника AKC. Из этого следует, что высота CK из точки K до стороны AB равна высоте CK из точки C до стороны AB. То есть CK = KL, и утверждение доказано.