Question

У трикутнику АВС проведено медіану ВМ . На продовженні сторони АВ за точку В позначили точку К . Відомо, що АВ = 2ВМ . Доведіть, що промінь ВС є бісектрисою кута МВК .

Answer 1

У трикутнику АВС проведено медіану ВМ . На продовженні сторони АВ за

Answer 2

Для доведення цього твердження ми можемо використати властивості медіани та співвідношення між сторонами трикутника АВС.

Позначимо:

1. Медіану, яка проведена з вершини B до середини сторони AC, як BM.
2. Точку на продовженні сторони AB, позначену К, як в умові.

Оскільки BM є медіаною, вона розділяє сторону AC на дві рівні частини. Тобто, AM = MC.

Дано, що AB = 2BM. Позначимо BM як x. Тоді AB = 2x.

Зараз ми можемо визначити вирази для AM і MC:

AM = AB - BM = 2x - x = x, MC = AC - AM = 2x - x = x.

Таким чином, ми знаємо, що AM = MC = x.

Розглянемо трикутник BKM. Ми знаємо, що BM = x, AB = 2x (за умовою) і BK = AB (за властивістю продовження сторони AB).

Тепер ми маємо достатньо інформації, щоб довести, що ВС є бісектрисою кута МВК. Для цього розглянемо відношення бокових сторін трикутника BKM:

BK/AB = x/(2x) = 1/2.

За визначенням бісектриси кута, відношення бокових сторін трикутника BKM має дорівнювати відношенню бокових сторін трикутника BVC (де VC - продовження BM):

BK/BC = VK/VC.

Ми вже встановили, що BK/AB = 1/2, і ми також знаємо, що BM = x. Отже, BC = 2BM = 2x і VC = 3x (оскільки BM + MC = 3x).

Тепер ми можемо підставити ці значення у рівняння:

1/2 = VK/(3x).

Помножимо обидві сторони на 3x:

VK = (1/2) * 3x = (3/2) * x.

Отже, VK дорівнює половині сторони BC. Це означає, що ВС є бісектрисою кута МВК. Таким чином, ми довели твердження.