Question

Один из острых углов прямоугольного треугольника в 2раза меньше другого а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см найдите гипотенузу и меньший катет

Answer 1

Один из острых углов х, другой больший 2х, а их сумма 3х=90, значит, меньший угол равен 30°, а больший 60°.

Против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы. Пусть катет у, тогда гипотенуза 2у.

Разность гипотенузы и меньшего катета 2у-у= 15, откуда меньший катет у=15, тогда гипотенуза 2*15=30 /см/

Answer 2

Пусть один из острых углов прямоугольного треугольника равен x градусов. Тогда другой острый угол будет равен 2x градусов.

Известно, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусов, поэтому: x + 2x + 90 = 180

Складываем углы и добавляем 90 градусов для прямого угла: 3x + 90 = 180

Вычитаем 90 из обеих сторон: 3x = 180 - 90 3x = 90

Делим обе стороны на 3: x = 90 / 3 x = 30

Теперь мы знаем, что один острый угол равен 30 градусам, а другой равен 2x = 2 * 30 = 60 градусам.

Теперь мы можем использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Пусть a - меньший катет, b - больший катет, и c - гипотенуза.

Мы знаем, что: cos(30°) = a / c cos(60°) = b / c

cos(30°) равен √3/2, а cos(60°) равен 1/2.

Теперь мы можем найти a и c, используя данные уравнения:

a / c = √3/2 a = (√3/2) * c

и

b / c = 1/2 b = (1/2) * c

Также, по условию задачи, разность гипотенузы (c) и меньшего катета (a) равна 15 см:

c - a = 15

Теперь мы можем решить систему уравнений:

1. a = (√3/2) * c
2. c - a = 15

Подставляем значение a из первого уравнения во второе:

c - (√3/2) * c = 15

Выносим c за скобку:

c * (1 - √3/2) = 15

Теперь делим обе стороны на (1 - √3/2):

c = 15 / (1 - √3/2)

Чтобы избавиться от радикала в знаменателе, умножим и числитель, и знаменатель на сопряженное значение (1 + √3/2):

c = (15 / (1 - √3/2)) * ((1 + √3/2) / (1 + √3/2))

c = (15 * (1 + √3/2)) / ((1 - (√3/2)^2))

Теперь упростим выражение в знаменателе:

c = (15 * (1 + √3/2)) / (1 - 3/4)

c = (15 * (1 + √3/2)) / (1/4)

Теперь делим 15 на 1/4:

c = 15 * 4 * (1 + √3/2)

c = 60 * (1 + √3/2)

c = 60 + 60 * (√3/2)

c = 60 + 30√3

Теперь у нас есть значение гипотенузы (c):

c = 60 + 30√3 см

Теперь найдем значение меньшего катета (a) с использованием первого уравнения:

a = (√3/2) * c a = (√3/2) * (60 + 30√3)

a = (30√3/2) * (2 + √3)

a = 30 * (√3/2) * (2 + √3)

a = 15√3 * (2 + √3)

a ≈ 15√3 * 3.73 ≈ 56.0 см

Итак, гипотенуза (c) примерно равна 60 + 30√3 см, а меньший катет (a) примерно равен 56.0 см.