Question

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой AB = 21 медиана AD пересекает биссектрису BK в точке O, расстояние от точки O до катета AC равно 3 . Найдите катеты и расстояние от точки O до гипотенузы AB.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:  Решение : /////////////////////////

Answer 2

Через точку O проведем EF||BC.

В трапеции пересечение продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой. О - середина EF.

EO=OF=3, EF=6

Биссектриса внутреннего угла при параллельных отсекает равнобедренный треугольник (∠EOB=∠CBO, накрест лежащие. ∠EOB=∠EBO).

BE=EO=3, AE=18

△ABC~△AEF (по соответственным углам при BC||EF)

BC/EF=AB/AE =21/18 =7/6, BC=7

AC=√(21^2 -7^2) =√(14*28) =14√2

Точка О лежит на биссектрисе угла ABC, следовательно равноудалена от сторон угла. Расстояние между параллельными постоянно, поэтому достаточно найти FC.

AF/AC =6/7 => FC=AC-AF =AC/7 =2√2

Answer 3

Давайте обозначим следующие величины:

AB - гипотенуза треугольника, которая равна 21. AC и BC - катеты треугольника. AD - медиана, которая пересекает гипотенузу AB в точке M, и биссектрису BK в точке O. OM - расстояние от точки O до катета AC. MO - расстояние от точки O до гипотенузы AB. Поскольку AD - медиана треугольника, она делит гипотенузу AB пополам, и AM = MB = 21 / 2 = 10.5.

Теперь у нас есть треугольник AOM, в котором известно следующее:

1. MO = ?
2. OM = 3 (дано в условии).
3. AM = 10.5.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти AC и BC:

AC^2 + BC^2 = AB^2

AC^2 + BC^2 = 21^2 AC^2 + BC^2 = 441

Теперь мы можем воспользоваться свойствами подобных треугольников, так как AM является медианой треугольника ABC, и она делит катет AC пополам. Таким образом, мы можем записать:

AM / AC = MO / BC

10.5 / AC = 3 / BC

Теперь мы можем выразить одну из переменных через другую:

10.5 = 3 * (AC / BC)

Теперь разделим обе стороны на 3:

AC / BC = 10.5 / 3

AC / BC = 3.5

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. AC^2 + BC^2 = 441
2. AC / BC = 3.5

Из уравнения 2 можно выразить AC через BC:

AC = 3.5 * BC

Подставив это в уравнение 1, получим:

(3.5 * BC)^2 + BC^2 = 441

Упростим это уравнение:

12.25 * BC^2 + BC^2 = 441

13.25 * BC^2 = 441

Теперь найдем BC:

BC^2 = 441 / 13.25

BC^2 ≈ 33.28

BC ≈ √33.28

BC ≈ 5.77 м

Теперь, используя уравнение AC / BC = 3.5, мы можем найти AC:

AC = 3.5 * BC

AC ≈ 3.5 * 5.77

AC ≈ 20.2 м

Итак, катет AC примерно равен 20.2 м, катет BC примерно равен 5.77 м, а расстояние от точки O до гипотенузы AB равно MO = 3 м.