Question

Вокруг трапеции описано круг. Найти радиус круга, если основания трапеции 20 см и 12 см, угол между боковой стороной трапеции и основой равен 30 градусов.

Answer 1

Нарисовал чертеж с обозначениями. Во-первых, описать окружность можно только около равнобедренной трапеции. Надо найти радиус этой окружности. Заметим, что окружность эта описана как около трапеции ABCD, так и около треугольника ABD.

Для треугольника ABD воспользуемся теоремой синусов и получим

$\frac{BD}{sinA} =2R$

То есть $R = \frac{BD}{2sinA} =\frac{BD}{2*\frac{1}{2} }=BD$

Даже вот так. Радиус этой окружности равен длине стороны BD.

Осталось лишь её найти. Раз трапеция равнобедренная, то и прямоугольные треугольники ABH и DCK равны (по катету - высоте и гипотенузе - боковой стороне трапеции). Значит, AH = KD

Тогда AD = AH + HK + KD = 2*AH + HK

BCKH - прямоугольник, BC = HK = 12

AH = 0.5 * (AD - HK) = 0.5 * (20 - 12) = 4

HD = HK + KD = 12 + 4 = 16

Не хватает стороны BH. Её можно найти из треугольника ABH

$ctgA = \frac{AH}{BH}; \sqrt{3} = \frac{4}{BH}; BH = \frac{4}{\sqrt{3} } =\frac{4\sqrt{3} }{3}$

Теперь по теореме Пифагора ищем BD

$BD^2 = BH^2 + HD^2$

$BD^2 = \frac{16}{3}+16^2 = \frac{16+3*16^2}{3}=\frac{16}{3}(1+3*16)=\frac{16}{3}*49\\ BD = \sqrt{\frac{4^2*7^2}{3} }=\frac{4*7}{\sqrt{3}} = \frac{28}{\sqrt{3} } =\frac{28\sqrt{3} }{3}$

Ответ: $R = \frac{28\sqrt{3}}{3}$

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство трапеции, в которой боковая сторона параллельна основаниям. Угол между боковой стороной и основой трапеции равен 30 градусам. Полуразность оснований трапеции равна $(20 - 12) = 8$ см.

Рассмотрим треугольник, образованный полуразностью оснований трапеции, радиусом описанного круга и отрезком от середины боковой стороны трапеции до центра круга. Этот треугольник является равносторонним, потому что угол между боковой стороной трапеции и основой равен 30 градусам. Таким образом, боковая сторона трапеции делится на две равные части, каждая из которых равна 4 см.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения радиуса описанного круга:

$$\text{Радиус}^2 = \text{Полуразность оснований}^2 + \text{Половина боковой стороны}^2$$

$$\text{Радиус}^2 = 8^2 + 4^2$$

$$\text{Радиус}^2 = 64 + 16$$

$$\text{Радиус}^2 = 80$$

Теперь найдем квадратный корень из 80:

$$\text{Радиус} = \sqrt{80} \approx 8.94 \, \text{см}$$

Таким образом, радиус описанного круга около трапеции составляет примерно 8.94 см.