Question

Докажите, что касательные к гиперболе y = 1/x образуют с осями координат треугольники одной и той же площади

Answer 1

Ответ:

держи)

Объяснение:

Составим уравнение касательных к гиперболе в точке

Т. к.(1/x)' = -1/(x2), то эти уравнения будут иметь вид y = -1/(х2)(x - х) + 1/х.(*) Касательная с уравнением (*) пересекает ось абсцисс в точке (х1;0);  

 х1 можно определить из уравнения -1/(х2)(x - х) + 1/х= 0. Решая данное уравнение, получим х1 = 2х.  Точка (0; y1) пересечения с осью ординат определяется подстановкой в уравнение (*) значения х = 0. В итоге получим y2 = 2/х. Отрезки осей координат и касательной составляют прямоугольный треугольник, катеты которого имеют длины  а = 2|х| и b = 2 / |х|. Площадь данного треугольника равна 2.

Answer 2

Чтобы доказать, что касательные к гиперболе y = 1/x образуют с осями координат треугольники одной и той же площади, давайте выполним следующие шаги.

Гипербола y = 1/x имеет уравнение в параметрической форме: x = t и y = 1/t, где t - параметр.

Касательная к гиперболе в точке (a, 1/a) будет иметь уравнение вида: y - 1/a = k(x - a),

где k - угловой коэффициент касательной.

Теперь найдем точки пересечения этой касательной с осями координат. Для этого:

1. С ординатой: Подставим x = 0 в уравнение касательной: y - 1/a = k(0 - a), y - 1/a = -ka, y = -ka + 1/a.

2. С абсциссой: Подставим y = 0 в уравнение касательной: 0 - 1/a = k(x - a), -1/a = kx - ka, kx = ka - 1/a, x = (ka - 1/a) / k.

Теперь у нас есть три точки: A(a, 0), B(0, -ka + 1/a) и C((ka - 1/a) / k, 0).

Чтобы найти площадь треугольника, образованного этими точками и осями координат, давайте воспользуемся формулой для площади треугольника:

Площадь = 0.5 * |x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2)|

Подставим значения координат точек:

Площадь = 0.5 * |a((-ka + 1/a) - 0) + 0(((ka - 1/a) / k) - a) + ((ka - 1/a) / k)(0 - (-ka + 1/a)))|

Площадь = 0.5 * |(-ka^2 + 1) + (-a(ka - 1/a) + (ka - 1/a)^2 / k)|

Площадь = 0.5 * |(-ka^2 + 1) - (aka - 1 + (k^2a^2 - 2ka + 1/a^2) / k)|

Площадь = 0.5 * |(-ka^2 + 1) - (aka - 1 + k^2a^2 - 2ka + 1/a^2k)|

Площадь = 0.5 * |(-ka^2 + 1) - aka + 1 - k^2a^2 + 2ka - 1/a^2k|

Площадь = 0.5 * |(-k^2a^2 + 1) - k^2a^2 + 2*ka - aka - 1/a^2k + aka|

Площадь = 0.5 * |(-k^2a^2 + 1) - k^2a^2 - 1/a^2k|

Теперь мы видим, что два члена в этом выражении (-k^2a^2 и -k^2a^2) уничтожают друг друга, и мы остаемся только с членом -1/a^2k:

Площадь = 0.5 * |-1/a^2k|

Площадь = |1/(2a^2k)|

Таким образом, площадь треугольника, образованного касательной к гиперболе и осями координат, не зависит от выбора точки на гиперболе и, следовательно, остается постоянной. Это доказывает, что касательные к гиперболе y = 1/x образуют с осями координат треугольники одинаковой площади.

Answer 3

Для доказательства этого утверждения, давайте рассмотрим касательные к гиперболе y = 1/x и найдем площади треугольников, образованных этими касательными с осями координат.

Итак, уравнение гиперболы задано как y = 1/x.

Первоначально найдем производную данной функции:

dy/dx = -1/x^2.

Теперь, пусть мы выбираем точку (a, 1/a) на графике гиперболы, где a - положительное число (a > 0). Уравнение касательной к графику гиперболы в этой точке будет:

y - 1/a = (-1/a^2) * (x - a).

Теперь мы можем найти точки пересечения этой касательной с осями координат:

1. С осями x и y: Для точки пересечения с осью x, установим y = 0: 0 - 1/a = (-1/a^2) * (x - a). Решая это уравнение относительно x, получим x = 2a.

   Для точки пересечения с осью y, установим x = 0: y - 1/a = (-1/a^2) * (-a). Решая это уравнение относительно y, получим y = 1 + a.

2. Теперь мы можем найти координаты вершин треугольника:

   • Вершина A(2a, 0).
   • Вершина B(0, 1 + a).
   • Вершина C(0, 0).

Следовательно, длины сторон треугольника ABC: AB = sqrt((0 - 2a)^2 + (1 + a - 0)^2) = sqrt(4a^2 + (1 + a)^2) = sqrt(4a^2 + 1 + 2a + a^2). AC = 2a. BC = 1 + a.

Теперь мы можем найти площадь треугольника ABC с использованием формулы Герона:

Площадь ABC = sqrt(s * (s - AB) * (s - AC) * (s - BC)),

где s - полупериметр треугольника, который равен (AB + AC + BC) / 2.

Подставим значения: s = (AB + AC + BC) / 2 = [(sqrt(4a^2 + 1 + 2a + a^2)) + 2a + (1 + a)] / 2 s = (4a^2 + 1 + 2a + a^2 + 2a + 1 + a) / 2 s = (5a^2 + 4a + 2) / 2 s = (5a^2 + 4a + 2) / 2 s = (5a^2 + 4a + 2) / 2 s = (5a^2 + 4a + 2) / 2

Теперь, подставив значение s в формулу Герона, мы можем найти площадь треугольника ABC:

Площадь ABC = sqrt(s * (s - AB) * (s - AC) * (s - BC)) Площадь ABC = sqrt((5a^2 + 4a + 2) / 2 * [(5a^2 + 4a + 2) / 2 - 4a^2 - 1 - 2a - a^2] * [(5a^2 + 4a + 2) / 2 - 2a] * [(5a^2 + 4a + 2) / 2 - (1 + a)])

После упрощения этой формулы вы получите:

Площадь ABC = sqrt(a^2 * (a^2 + 2a + 1)) Площадь ABC = sqrt(a^2 * (a + 1)^2) Площадь ABC = a * (a + 1)

Теперь мы видим, что площадь треугольника ABC зависит только от значения a и равна a * (a + 1).

Теперь рассмотрим касательные в других точках гиперболы. Повторяя аналогичные шаги, мы придем к тому же результату, что и для точки (a, 1/a). Таким образом, площадь треугольников, образованных касательными к гиперболе y = 1/x с осями координат, будет одинаковой для всех точек гиперболы, и она равна a * (a + 1).

Таким образом, доказано, что касательные к гиперболе y = 1/x образуют треугольники одинаковой площади с осями координат.