Question

срочно!!! помогите найти общее решение(общий интеграл) для дифференциального уравнения первого порядка xy' In(y/x)=x+y In(y/x)

Answer 1

Ответ:

y=tx; y'=t'x+t;

(t'x^2+tx)lnt=x+txlnt

t'x^2lnt=x

lntdt=xdx;

tlnt-t=x^2/2+C

y/xln(y/x)-y/x=x^2/2+C

Answer 2

Давайте рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка:

xy'ln(y/x) = x + yln(y/x)

Для начала, давайте введем новую переменную z = y/x. Тогда у нас есть:

y = zx

Теперь мы можем выразить производную y' в терминах z:

y' = xz' + z

Теперь мы можем переписать исходное уравнение:

xy'ln(y/x) = x + yln(y/x)

x(xz' + z)ln(z) = x + zxln(z)

Теперь мы можем сократить x с обеих сторон:

xz'ln(z) + zln(z) = 1 + zln(z)

Теперь давайте выразим z' в терминах z и ln(z):

z' = (1 + zln(z)) / (xzln(z))

Теперь это дифференциальное уравнение можно решить. Для этого выразим переменные и проинтегрируем:

(1 + zln(z)) / (zln(z)) dz = dx/x

Интегрируя обе стороны, получим:

∫(1 + zln(z)) / (zln(z)) dz = ∫(1/x) dx

Теперь давайте проинтегрируем обе стороны. Левую сторону можно проинтегрировать аналитически, а правую сторону - просто по x:

Левая сторона:

∫(1 + zln(z)) / (zln(z)) dz = ∫(1/zln(z) + 1/z) dz

Интеграл слева можно разбить на два интеграла:

∫(1/zln(z) + 1/z) dz = ∫(1/zln(z)) dz + ∫(1/z) dz

Теперь проинтегрируем каждый из них:

Первый интеграл:

∫(1/zln(z)) dz = ∫(1/u) du, где u = ln(z) = ∫(1/u) du = ln|u| + C1, где C1 - произвольная постоянная

Второй интеграл:

∫(1/z) dz = ln|z| + C2, где C2 - еще одна произвольная постоянная

Теперь вернемся к правой стороне:

∫(1/x) dx = ln|x| + C3, где C3 - еще одна произвольная постоянная

Теперь мы имеем:

ln|u| + C1 + ln|z| + C2 = ln|x| + C3

Теперь объединим логарифмы и константы:

ln|uz| + (C1 + C2) = ln|x| + C3

Теперь объединим константы C1 и C2 в одну новую константу C4:

ln|uz| + C4 = ln|x| + C3

Выразим ln|uz|:

ln|uz| = ln|x| + C3 - C4

ln|uz| = ln|x| + C5, где C5 = C3 - C4

Теперь уберем натуральный логарифм, возведя обе стороны уравнения в экспоненту:

uz = e^(ln|x| + C5)

uz = e^(C5) * e^(ln|x|)

uz = C6 * |x|, где C6 = e^(C5)

Теперь мы можем вернуться к переменным z и y:

zy/x = C6 * |x|

y = C6 * |x| * x

И это общее решение данного дифференциального уравнения первого порядка:

y = C6 * |x| * x, где C6 - произвольная константа.