Question

Диагонали трапеции Abcd с основаниями AB и Cd пересекаются в точке O. Найти AB если известно, что OB=20,BD=56,DC=72.

Answer 1

Правильный рисунок или нет?

Answer 2

Чтобы найти длину основания трапеции AB, мы можем воспользоваться теоремой подобия треугольников и свойством пропорций.

Обозначим длину основания AB как x. Тогда, с учетом данной информации, мы имеем следующие отношения:

1. В треугольнике OBD (O - точка пересечения диагоналей):

   OB / BD = OA / AD (по теореме подобия треугольников)

   20 / 56 = OA / (x + 72)

2. В треугольнике OCD (O - точка пересечения диагоналей):

   OC / CD = OA / AD (по теореме подобия треугольников)

   OC / 72 = OA / (x + 72)

Теперь мы можем решить эту систему уравнений для x. Сначала умножим оба уравнения на (x + 72) для избавления от дробей:

1. 20(x + 72) = 56OA

2. OC(x + 72) = 72OA

Теперь мы можем разделить уравнение 2 на уравнение 1, чтобы избавиться от OA:

(OC(x + 72)) / (20(x + 72)) = 72OA / 56OA

Упростим уравнение:

OC / 20 = 72 / 56

Теперь можно найти OC:

OC = (20 * 72) / 56

OC = 25

Теперь мы знаем длину одной из диагоналей трапеции, OC = 25. Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике OAB:

OA^2 + OB^2 = AB^2

OA^2 + 20^2 = x^2

OA^2 = x^2 - 20^2

OA = sqrt(x^2 - 400)

Теперь, подставив значение OC = 25 и OA в уравнение 2:

25(x + 72) = 72OA

25(x + 72) = 72 * sqrt(x^2 - 400)

Теперь решим это уравнение относительно x. Сначала упростим:

(x + 72) = (72 * sqrt(x^2 - 400)) / 25

Теперь изолируем x:

x + 72 = (72 * sqrt(x^2 - 400)) / 25

25(x + 72) = 72 * sqrt(x^2 - 400)

625(x + 72)^2 = 72^2 * (x^2 - 400)

625(x^2 + 144x + 72^2) = 72^2 * (x^2 - 400)

625x^2 + 625 * 144x + 625 * 72^2 = 72^2 * x^2 - 72^2 * 400

Переносим все члены на одну сторону:

625x^2 - 72^2 * x^2 + 625 * 144x + 72^2 * 400 - 625 * 72^2 = 0

(625 - 72^2) * x^2 + 625 * 144x + 72^2 * 400 - 625 * 72^2 = 0

(625 - 72^2) * x^2 + 625 * 144x - 625 * 72^2 * 0 = 0

(625 - 72^2) * x^2 + 625 * 144x = 0

Теперь можно решить это квадратное уравнение. Выразим x:

x = (-625 * 144) / (625 - 72^2)

x = (-625 * 144) / (625 - 5184)

x = (-625 * 144) / (-4559)

x ≈ 18.76

Таким образом, длина основания AB трапеции равна примерно 18.76.