Question

У прямоугольной трапеции АВСД , ВС в два раза меньше чем АД. А диагональ АС равно 6 см. Найти большую боковую сторону трапеции.

Answer 1

Ответ:

6 см

Объяснение:

1.

Предположим, что ВС и АД - это соответственно верхнее и нижнее основания трапеции.

тогда:

Дано:

АВСД - трапеция, уг.СВА = 90°, уг.ВАД = 90°

АД = 2•СВ, АМ = 6 см.

Найти: СД - ?

Решение: см. приложенное фото

Ответ: СД = АС = 6 см

2

Предположим, что ВС и АД - это боковые стороны трапеции.

Тогда решения нет - данных для нахождения боковой стороны недостаточно.

Answer 2

Пусть $AB$ и $CD$ - основания трапеции, $BC$ и $AD$ - боковые стороны, $AC$ - диагональ.

Из условия задачи у нас есть следующие данные:

1. $BC = \frac{1}{2}AD$ (так как $BC$ в два раза меньше $AD$).
2. $AC = 6$ см.

Обозначим длину боковой стороны $AD$ за $x$, тогда длина $BC = \frac{1}{2}x$.

По теореме Пифагора в треугольнике $ABC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

Подставим известные значения:

$6^2 = AB^2 + \left(\frac{1}{2}x\right)^2$

Решим это уравнение для $AB$:

$36 = AB^2 + \frac{1}{4}x^2$

$4 \cdot 36 = 4 \cdot AB^2 + x^2$

$144 = 4 \cdot AB^2 + x^2$

$4 \cdot AB^2 = 144 - x^2$

$AB^2 = \frac{144 - x^2}{4}$

Теперь у нас есть выражение для квадрата длины основания $AB$. Так как $BC = \frac{1}{2}x$, то квадрат длины $BC$ равен $\frac{1}{4}x^2$.

Теперь можем записать уравнение для площади трапеции:

$S = \frac{1}{2}(AB + CD) \cdot h$

где $h$ - расстояние между основаниями трапеции. По теореме Пифагора в треугольнике $ACD$:

$h^2 = AC^2 - \left(\frac{1}{2}x\right)^2$

$h^2 = 36 - \frac{1}{4}x^2$

Теперь выражение для площади трапеции:

$S = \frac{1}{2}(AB + CD) \cdot h$

$S = \frac{1}{2}\left(\sqrt{\frac{144 - x^2}{4}} + x\right) \cdot \sqrt{36 - \frac{1}{4}x^2}$

$S = \frac{1}{4}\left(\sqrt{144 - x^2} + 2x\right) \cdot \sqrt{144 - x^2}$

Теперь нужно найти максимум этой функции $S$, что можно сделать, взяв производную и приравняв ее к нулю. Таким образом, мы найдем оптимальное значение $x$ (длина основания $AD$), которое максимизирует площадь трапеции.